负数(英文:Negative number),在数学上指小于0的实数,如−2、−3.2和−807.5,与正数相对。负数本身是一个不可数的无限集合。这个集合在数学上通常用粗体R−或
来表示。负数与0统称非正数。
负整数可以被认为是自然数的扩展,使得等式
对任意
和
都有意义。相对而言,其他数的集合都是从自然数通过逐步扩展得到的。
负数在表示小于 0 的值的时候非常有用。例如,在会计学上,它可以被用来表示负债,而且通常以红色表示(若不带负数符号则加上括号),所以又称“赤字”。
自从汉代,中国数学家就已经了解负数和零的概念了。[1] 公元1世纪的《九章算术》说“正负术曰:同名相除,异名相益,正无入负之,负无入正之。其异名相除,同名相益,正无入正之,负无入负之。”[2](这段话的大意是“减法:遇到同符号数字应相减其数值,遇到异符号数字应相加其数值,零减正数的差是负数,零减负数的差是正数。”)。以上文字里的“无入”通常被数学历史家认为是零的概念。
尽管中国古人首先发现并应用了负数,但却并没有从理性方面讨论负数存在的意义和本质,这可能是文化习惯导致的。对负数精确的定义,和其根本属性的讨论,是由近代西方数学家首先完成的。[3]
西方最早在数学上使用负数的文献纪录,是由古印度数学家婆罗摩笈多于公元628年完成的《婆罗摩历算书》。它的出现是为了表示负资产或债务。在很大程度上,欧洲数学家直到17世纪[来源请求]才接受负数的概念。
在实数上可以定义这样一个函数
,它对正数取值为 1,负数取值为 −1,0 取值为 0。这个函数通常被称为符号函数:
![{\displaystyle \operatorname {sgn}(x)=\left\{{\begin{matrix}-1&:x<0\\\;0&:x=0\\\;1&:x>0\end{matrix}}\right.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fddc7c01e8baf05ec24debc068fea7371cd9730e)
当
不为 0 时,则有:
![{\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\frac {x}{|x|}}={\frac {|x|}{x}}={\frac {d{|x|}}{d{x}}}=2H(x)-1.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eed20dc431a2999e5104284fcbe470d49a003625)
这里,
为
的绝对值,
为单位阶跃函数。请参见导数。
负数四则运算口诀
口诀 |
释义
|
加法 |
减法 |
乘法 |
除法
|
被乘数 |
乘数 |
积 |
被除数 |
除数 |
商
|
正正得正 |
a + (+b) = a + b |
- |
正 |
正 |
正 |
正 |
正 |
正
|
正负得负 |
a + (−b) = a − b |
- |
正 |
负 |
负 |
正 |
负 |
负
|
负正得负 |
- |
a − (+b) = a − b |
负 |
正 |
负 |
负 |
正 |
负
|
负负得正 |
- |
a − (−b) = a + b |
负 |
负 |
正 |
负 |
负 |
正
|
负数四则运算口诀简单版
两个符号一样 |
两个符号不同
|
得正 |
得负
|
加上一个负数相当于减去其相反数:
![{\displaystyle 6+({\color {Violet}-3})=6-{\color {Orange}3}=3\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04f0e7500c055a4d549b90edc4d9e9f19a66e1bc)
![{\displaystyle -2+({\color {Violet}-5})=-2-{\color {Orange}5}=-7\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d4fb906112eda4fedaaccfd3afaa4e6998ca1c6)
一个较大的正数减去一个较小的正数将得到一个正数
一个较小的正数减去一个较大的正数将得到一个负数:
![{\displaystyle 6-3=3\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa83839bcb96734439fcaefa102e44e5361ac1b6)
![{\displaystyle 4-6=-2\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47059191e5fc2e9415605b814d3b6b42d75b6db8)
![{\displaystyle 0-5=-5\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/404a43483b99f5cb548cda51dd8e346ad0b5b617)
任意负数减去一个正数总得到一个负数:
![{\displaystyle -6-3=-(6+3)=-9\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d847558116d972db17dd550752b98a22c87f80dc)
减去一个负数相当于加上相应的正数:
![{\displaystyle 5-(-2)=5+2=7\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c110da85a1b066595e4269ac6dac8ad90b46384)
![{\displaystyle (-6)-(-3)=-(6-3)=-3\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a87cf00e3770a4a551ea904c1752973040d0df1e)
一个负数和一个正数相乘得到一个负数:
。这里,乘法可以被看作是多次加法的重复:
。
两个负数相乘得到一个正数:
。这里,乘法不能再被看作是多次加法的重复了,而是为了使乘法满足分配律:
![{\displaystyle {\bigg [}3+(-3){\bigg ]}\times (-4)=3\times (-4)+(-3)\times (-4).\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d0ba70f973e82ff1d3f1db1cd6bc167cf0dd22a)
等式的左边为
。等式的右边为
。为了使两边相等,必须要
。
除法和乘法类似。若被除数和除数有不同的符号,结果是一个负数:
![{\displaystyle \;8\;\div \;(-2)=(-4)\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65109a361a98d3635894530eaee27678f6d52fe5)
![{\displaystyle (-10)\;\div \;2=(-5)\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5a5a8e479c4830ad3aeca80c730b4ac297225b6)
若被除数和除数有相同的符号(就算他们均为负),结果是一个正数:
![{\displaystyle (-6)\;\div \;(-3)=6\;\div \;3=2\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac3b8a0808cc698a8ba06536c1921773c69d67f5)
- ^ Wáng, Qīngxiáng, Sangi o koeta otoko (The man who exceeded counting rods), Tokyo: Tōyō Shoten, 1999, ISBN 4-88595-226-3
- ^
九章算術. 维基文库. 中国 (中文).
- ^ HPM通訊第二期. [2018-04-19]. (原始内容存档于2020-01-29).