高斯光束的瞬时辐照度电脑绘图
场强(蓝色)和辐照度(黑色)在坐标轴上的分布情况
在光学 中,高斯光束 (英语:Gaussian beam )是横向电场 以及辐照度 分布近似满足高斯函数 的电磁波 光束。许多激光 都近似满足高斯光束的条件,在这种情况中,激光在光谐振腔 中以TEM00 波模(横向基模)传播。当它在满足近衍射极限的镜片中发生折射 时,高斯光束会变换成另一种不同参数的高斯光束,因此,高斯光束是激光光学中一种方便、广泛应用的模型。
描述高斯光束的数学函数是亥姆霍兹方程 的一个近轴近似 解(属于小角近似 的一种)。这个解具有高斯函数 的形式,代表了光束中电场分量的复振幅。尽管电磁波的传播包括电场 和磁场 两部分,研究其中任一个场,就足以描述波在传播时的性质。
高斯光束中,场的行为可以通过几个参数加以刻画,如光斑大小,曲率半径,古依相移等。
亥姆霍兹方程的近轴近似解可能不止一个。笛卡尔坐标系下求解可得一类称为厄米-高斯模的解,在柱坐标中求解则得到一类称为拉盖尔-高斯模的解。对这两类解,最低阶都是高斯光束,高阶解则描述了光学谐振腔中的高阶横向模。
高斯光束作为电磁波的横向电磁模,通过求解近轴亥姆霍兹公式,可得电场的振幅
E
(
r
,
z
)
=
E
0
w
0
w
(
z
)
exp
(
−
r
2
w
2
(
z
)
)
exp
(
−
i
k
z
−
i
k
r
2
2
R
(
z
)
+
i
ζ
(
z
)
)
,
{\displaystyle E(r,z)=E_{0}{\frac {w_{0}}{w(z)}}\exp \left({\frac {-r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)\exp \left(-ikz-ik{\frac {r^{2}}{2R(z)}}+i\zeta (z)\right)\ ,}
纳米激光器产生的激光
这里
r
{\displaystyle r}
为径向坐标,以光轴中心为参考点
z
{\displaystyle z}
为轴向坐标,以光轴上光波最狭窄(束腰)位置为参考点
i
{\displaystyle i}
为虚数单位 (即
i
2
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=-1}
)
k
=
2
π
λ
{\displaystyle k={2\pi \over \lambda }}
为波数 (以“弧度 /米”为单位)
E
0
=
|
E
(
0
,
0
)
|
{\displaystyle E_{0}=|E(0,0)|}
w
(
z
)
{\displaystyle w(z)}
为当电磁场振幅降到轴向的1/e 、强度降到轴向的1/e 2 的点的半径
w
0
=
w
(
0
)
{\displaystyle w_{0}=w(0)}
为激光的束腰宽度
R
(
z
)
{\displaystyle R(z)}
为光波波前 的曲率半径
ζ
(
z
)
{\displaystyle \zeta (z)}
为轴对称光波的 Gouy 相移,对高斯光束的相位也有影响
此外,上式中默认忽略了含时项
e
i
ω
t
{\textstyle e^{i\omega t}}
。
对应的辐照度时域平均值为
I
(
r
,
z
)
=
|
E
(
r
,
z
)
|
2
2
η
=
I
0
(
w
0
w
(
z
)
)
2
exp
(
−
2
r
2
w
2
(
z
)
)
,
{\displaystyle I(r,z)={|E(r,z)|^{2} \over 2\eta }=I_{0}\left({\frac {w_{0}}{w(z)}}\right)^{2}\exp \left({\frac {-2r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)\ ,}
这里
I
0
=
I
(
0
,
0
)
{\displaystyle I_{0}=I(0,0)}
为光波束腰中心处的辐照度。常数
η
{\displaystyle \eta \,}
为光波所在传播介质中的波阻抗 。在真空中,
η
=
η
0
=
μ
0
ε
0
=
1
/
(
ε
0
c
)
≈
376.7
Ω
{\displaystyle \eta =\eta _{0}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}=1/(\varepsilon _{0}c)\approx 376.7\ \mathrm {\Omega } }
。
高斯光束的许多性质由一系列波束参数决定,下面将分别予以介绍。
对于在自由空间传播的高斯光束,其腰斑 位置的半径在光轴方向总大于一个最小值
w
0
{\displaystyle w_{0}}
,这个最小值被称为束腰(beam waist)。波长 为
λ
{\displaystyle \lambda }
的光波的腰斑位置在
z
{\displaystyle z}
轴上的分布为
w
(
z
)
=
w
0
1
+
(
z
z
R
)
2
.
{\displaystyle w(z)=w_{0}\,{\sqrt {1+{\left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right)}^{2}}}\ .}
这里将
z
=
0
{\displaystyle z=0}
定义为束腰的位置。
z
R
=
π
w
0
2
λ
{\displaystyle z_{\mathrm {R} }={\frac {\pi w_{0}^{2}}{\lambda }}}
被称为瑞利距离 。
与束腰轴向距离等于瑞利距离
z
R
{\displaystyle z_{R}}
处的束宽为
w
(
±
z
R
)
=
w
0
2
.
{\displaystyle w(\pm z_{\mathrm {R} })=w_{0}{\sqrt {2}}.\,}
这两点之间的距离称作共焦参数 或光束的焦深 。
b
=
2
z
R
=
2
π
w
0
2
λ
.
{\displaystyle b=2z_{\mathrm {R} }={\frac {2\pi w_{0}^{2}}{\lambda }}\ .}
R
(
z
)
{\displaystyle R(z)}
是光束波前的曲率半径,它是轴向距离的函数
R
(
z
)
=
z
[
1
+
(
z
R
z
)
2
]
.
{\displaystyle R(z)=z\left[{1+{\left({\frac {z_{\mathrm {R} }}{z}}\right)}^{2}}\right]\ .}
当
z
≫
z
R
{\displaystyle z\gg z_{\mathrm {R} }}
,参数
w
(
z
)
{\displaystyle w(z)}
与
z
{\displaystyle z}
呈线性关系,趋近于一条直线。这条直线与中央光轴的夹角被称为光束的“偏移”,它等于
θ
≃
λ
π
w
0
(
θ
i
n
r
a
d
i
a
n
s
)
.
{\displaystyle \theta \simeq {\frac {\lambda }{\pi w_{0}}}\qquad (\theta \mathrm {\ in\ radians} ).}
在远离束腰的位置,光束弯散的总角度为
Θ
=
2
θ
.
{\displaystyle \Theta =2\theta \ .}
由于这一性质,聚焦于一个小点的高斯激光在远离这个点的传播过程中迅速散开。为了保持激光的准直,激光束必须具有较大的直径。束宽和光束偏移的这一关系是由于衍射 的缘故。非高斯光束同样会表现这一效应,但是高斯光束是一种特殊情况,其束宽和偏移的乘积是可能达到的最小值。
由于高斯光束模型使用了近轴近似,当波前与光传播方向倾斜程度大于30度之后,这种模型将不再适用[ 1] 。通过上述偏移的表达式,这意味着高斯光束模型仅对束腰大于
2
λ
/
π
{\displaystyle 2\lambda /\pi }
的光束适用。
激光束的质量可以用束参数乘积 (BBP)来衡量。对于高斯光束,BBP 的数值就是光束的偏移量与束腰
w
0
{\displaystyle w_{0}}
的乘积。实际光束的 BPP 通过计算光束的最小直径和远场偏移量的乘积来获得。在波长一定的情况下,实际光束的 BPP 数值与理想激光束的 BPP 数值的比值被称为“M2 ”。高斯光束的 M2 值为1,而所有的是激光束的 M2 值均大于1,并且质量越好的激光的 M2 值越接近1。
光束的轴向上的相位延迟,或称 Gouy 相位为
ζ
(
z
)
=
arctan
(
z
z
R
)
.
{\displaystyle \zeta (z)=\arctan \left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right)\ .}
当光束通过焦点时,除了正常情况下平面波的相移
e
−
i
k
z
{\displaystyle e^{-ikz}}
外,多出一个额外的 Gouy 相移
π
{\displaystyle \pi }
。
可以通过复数形式的光束参数
q
(
z
)
{\displaystyle q(z)}
囊括光斑尺寸与曲率半径的信息,
q
(
z
)
=
z
+
q
0
=
z
+
i
z
R
.
{\displaystyle q(z)=z+q_{0}=z+iz_{\mathrm {R} }\ .}
倒数
1
/
q
(
z
)
{\displaystyle 1/q(z)}
显式提供了
q
(
z
)
{\displaystyle q(z)}
,
w
(
z
)
{\displaystyle w(z)}
与
R
(
z
)
{\displaystyle R(z)}
间的关系:
1
q
(
z
)
=
1
z
+
i
z
R
=
z
z
2
+
z
R
2
−
i
z
R
z
2
+
z
R
2
=
1
R
(
z
)
−
i
λ
π
w
2
(
z
)
.
{\displaystyle {1 \over q(z)}={1 \over z+iz_{\mathrm {R} }}={z \over z^{2}+z_{\mathrm {R} }^{2}}-i{z_{\mathrm {R} } \over z^{2}+z_{\mathrm {R} }^{2}}={1 \over R(z)}-i{\lambda \over \pi w^{2}(z)}.}
光束参数的复数形式在高斯光束传播的分析中有着重要地位,特别是当使用光线传递矩阵分析光谐振腔中光束传播。
利用复数光束参数
q
{\displaystyle q}
,具有一个横向维度的高斯光束电磁场与下式成比例
u
(
x
,
z
)
=
1
q
x
(
z
)
exp
(
−
i
k
x
2
2
q
x
(
z
)
)
.
{\displaystyle {u}(x,z)={\frac {1}{\sqrt {{q}_{x}(z)}}}\exp \left(-ik{\frac {x^{2}}{2{q}_{x}(z)}}\right).}
在二维的情况中,可以将散光的光束表达为乘积的形式
u
(
x
,
y
,
z
)
=
u
(
x
,
z
)
u
(
y
,
z
)
,
{\displaystyle {u}(x,y,z)={u}(x,z)\,{u}(y,z),}
对于圆对称 的普遍情况,
q
x
=
q
y
=
q
{\displaystyle {q}_{x}={q}_{y}={q}}
且
x
2
+
y
2
=
r
2
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}
,可以得出[ 2]
u
(
r
,
z
)
=
1
q
(
z
)
exp
(
−
i
k
r
2
2
q
(
z
)
)
.
{\displaystyle {u}(r,z)={\frac {1}{{q}(z)}}\exp \left(-ik{\frac {r^{2}}{2{q}(z)}}\right).}
流经距离 z 轴半径为r 的圆的功率 为
P
(
r
,
z
)
=
P
0
[
1
−
e
−
2
r
2
/
w
2
(
z
)
]
,
{\displaystyle P(r,z)=P_{0}\left[1-e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]\ ,}
这里
P
0
=
1
2
π
I
0
w
0
2
{\displaystyle P_{0}={1 \over 2}\pi I_{0}w_{0}^{2}}
为电磁波传播的总能量
流经以
r
=
w
(
z
)
{\displaystyle r=w(z)\,}
为半径的圆的能量占总能量的比值为
P
(
z
)
P
0
=
1
−
e
−
2
≈
0.865
.
{\displaystyle {P(z) \over P_{0}}=1-e^{-2}\approx 0.865\ .}
类似的,占光波总能量约90%的部分将流经半径为
r
=
1.07
⋅
w
(
z
)
{\displaystyle r=1.07\cdot w(z)\,}
的圆形面积,总能量的95%通过
r
=
1.224
⋅
w
(
z
)
{\displaystyle r=1.224\cdot w(z)\,}
的圆形面积,总能量的99%会通过
r
=
1.52
⋅
w
(
z
)
{\displaystyle r=1.52\cdot w(z)}
的圆。
在与束腰的轴向距离为
z
{\displaystyle z}
的位置,利用洛必达法则 ,可以计算该位置的辐射照度峰值
I
(
0
,
z
)
=
lim
r
→
0
P
0
[
1
−
e
−
2
r
2
/
w
2
(
z
)
]
π
r
2
=
P
0
π
lim
r
→
0
[
−
(
−
2
)
(
2
r
)
e
−
2
r
2
/
w
2
(
z
)
]
w
2
(
z
)
(
2
r
)
=
2
P
0
π
w
2
(
z
)
.
{\displaystyle I(0,z)=\lim _{r\to 0}{\frac {P_{0}\left[1-e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]}{\pi r^{2}}}={\frac {P_{0}}{\pi }}\lim _{r\to 0}{\frac {\left[-(-2)(2r)e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]}{w^{2}(z)(2r)}}={2P_{0} \over \pi w^{2}(z)}.}
可以看出,辐照度峰值为平均值的两倍,后者等于总能量除以半径为
w
(
z
)
{\displaystyle w(z)}
的圆的面积。
^ Siegman (1986) p. 630.
^ See Siegman (1986) p. 639. Eq. 29
Saleh, Bahaa E. A. and Teich, Malvin Carl. Fundamentals of Photonics. New York: John Wiley & Sons. 1991. ISBN 0-471-83965-5 . Chapter 3, "Beam Optics," pp. 80–107.
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Siegman, Anthony E. Lasers. University Science Books. 1986. ISBN 0-935702-11-3 . Chapter 16.
F. Pampaloni and J. Enderlein. Gaussian, Hermite-Gaussian, and Laguerre-Gaussian beams: A primer. 2004. arXiv:physics/0410021 .