外尔特征标公式(Weyl's character formula) 描述紧李群不可约表示的特征标。其名来自证明者赫尔曼·外尔。
定义:群G的表示r的特征标为一函数
,
,其中Tr 为线性算子之迹。 (由彼得-外尔定理 可知紧李群的任何不可约表示都是有限维的;故迹之定义为线性代数中之定义。)
特征标 χ 记住了表示 r 本身的重要讯息。 外尔特征标公式用群G的其他资料来表达 χ 。 本文考虑复表示,不失一般亦设其为酉表示,因而“不可约”亦等价于“不可分解”(即非二子表示之直和)。
紧李群G 之不可约表示之特征标符合下式:
![{\displaystyle {\sum _{w\in W}(-1)^{\det(w)}w(e^{\lambda +\rho }) \over e^{\rho }\prod _{\alpha >0}(1-e^{-\alpha })}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e4339a8c7e7e2aaf11c2bbe0133700182d72ab7)
其中
在 1 维表示的特例中,特征标为 1, 而外尔特征标公式简化成 外尔分母公式:
![{\displaystyle {\sum _{w\in W}(-1)^{\det(w)}w(e^{\rho })=e^{\rho }\prod _{\alpha >0}(1-e^{-\alpha })}.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/247052a8a8035109bd8b5086e21776ea6e6e6e5d)
若G为特殊幺正群,则简化成范德蒙行列式的等式:
。
若只考虑单位元1之迹,则外尔特征标公式 特殊化成 外尔维数公式
,
![{\displaystyle \dim(V_{\Lambda })={\prod _{\alpha >0}(\Lambda +\rho ,\alpha ) \over \prod _{\alpha >0}(\rho ,\alpha )}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0a61ed5fe6caeb9ca81fd2b2bad919e7ec7dc62)
其中
- VΛ为有限维表示,其最高权为Λ;
- ρ为外尔向量,
- α 遍历所有正根。
由于式中分子与分母俱为高阶零,故必须取G中之元素渐近单位元1时之极限。
Hans Freudenthal发现了权重数符合之一递归公式。此公式等价于外尔特征标公式,而在某些情况下更简便。式曰:
;
其中
- Λ 为一最高权,
- λ 为另一权,
- dim Vλ 为权λ 之重数,
- ρ 为外尔向量,
- 外和中之 α 历遍所有正根。
外尔特征标公式 亦适用于卡茨-穆迪代数之可积最高权表示 ——外尔-Kac 特特征标公式。同样地,分母恒等式亦可推广至卡茨-穆迪代数,其在仿射李代数之特例成为Macdonald 恒等式。其在 A1 仿射李代数之例成为经典的 雅可比三重乘积恒等式:
![{\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-x^{2m}\right)\left(1-x^{2m-1}y\right)\left(1-x^{2m-1}y^{-1}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}x^{n^{2}}y^{n}.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af7f3a0aa81855e3ab0e94888cba0185e202493a)
此特征公式可推广至广义卡茨-穆迪代数之可积最高权表示:
![{\displaystyle {\sum _{w\in W}(-1)^{\det(w)}w(e^{\lambda +\rho }S) \over e^{\rho }\prod _{\alpha >0}(1-e^{-\alpha })}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e22e25a4eb77315fa1cbb0290213827e4a0939f9)
其中 S 为一修正项:
![{\displaystyle S=\sum _{I}(-1)^{|I|}e^{\Sigma I}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb97025e69f6361e32ebf10c001b905d1520ed18)
其中 I历遍虚简单根集内 所有与最高权
正交、且互相正交之有限子集;|I| 集 I 之基数,而 ΣI为集 I 内元素之和。
而Monster 李代数之 分母公式 则为椭圆模函数j之积公式:
。
Peterson 发现了(广义)可对称化卡茨-穆迪代数之根重数 mult(β) 递归公式。此公式等价于外尔-卡茨分母公式,但更便于计算:
,
其中γ 与 δ 遍历所有正根,而
。