设想经典力学里的谐振子 系统(A-B),一条弹簧的一端固定不动,另一端有一个带质量圆球;在量子力学里, (C-H)展示出同样系统的薛丁格方程式的六个波函数解。横轴坐标表示位置,竖轴坐标表示机率幅的实部(蓝色)或虚部(红色)。(C-F)是定态,(G、H)不是定态。定态的能量为驻波振动频率与约化普朗克常数的乘积。
描述谐振子的含时薛丁格方程式的三个波函数解。左边:波函数机率幅的实部(蓝色)或虚部(红色)。右边:找到粒子在某位置的机率,这说明了为甚么机率与时间无关的量子态被称为“定态”。上面两个横排是定态,最下面横排是叠加态
。
在量子力学里,定态(stationary state)是一种量子态,定态的机率密度与时间无关。以方程式表式,定态的机率密度对于时间的导数为
;
其中,
是定态的波函数,
是位置,
是时间 。
设定一个量子系统的含时薛丁格方程式为
;
其中,
是约化普朗克常数,
是质量,
是位势。
这个方程式有一个定态的波函数解:
;
其中,
是
的不含时间部分,
是能量。
将这定态波函数代入含时薛丁格方程式,则可除去时间关系:
。
这是一个不含时薛丁格方程式,可以用来求得本征能量
与伴随的本征函数
。定态的能量都是明确的,是定态薛丁格方程式的本征能量
,波函数
是定态薛丁格方程式的本征函数
。
虽然定态
很明显的含时间。含时间部分是个相位因子。定态的机率密度不含有相位因子这项目:
。
所以,定态的机率密度与时间无关。一个直接的后果就是期望值也都与时间无关。例如,位置的期望值
是
。
再举一例,动量的期望值
是
。
所以,
和
都与时间无关。一般而言,给予任意一个位置与动量的函数
,期望值
必然与时间无关。
- Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-111892-7.