在几何学中,平行六面体是由六个平行四边形所组成的三维立体,是一种平行多面体。它与平行四边形的关系,正如正方体与正方形之间的关系;在欧几里得几何中这四个概念都允许,但在仿射几何中只允许平行四边形和平行六面体。平行六面体的三个等价的定义为:
- 六个面都是平行四边形的多面体;
- 有三对对面平行的六面体;
- 底面为平行四边形的棱柱。
长方体(六个面都是长方形)、正方体(六个面都是正方形),以及菱面体(六个面都是菱形)都是平行六面体的特殊情况。
平行六面体是拟柱体的一个子类。
平行六面体可由正方体经线性变换而成。
用相同的平行六面体,可以镶嵌整个空间。
平行六面体的体积是底面
与高
的乘积,即
。
这里的高是底面与对面的垂直距离。
用向量来定义平行六面体。
另外一个方法是用向量
,
,以及
来表示相交于一点的三条棱。平行六面体的体积
等于纯量三重积:
。
证明:
以
和
来表示底面的边,则根据向量积的定义,底面的面积
为:
,
其中
是
与
之间的角,而高为:
,
其中
是
与
之间的角。
从图中我们可以看到,
的大小限定为
。而向量
与
之间的角
则有可能大于90°(
)。也就是说,由于
与
平行,
的值要么等于
,要么等于
。因此:
,
且
。
我们得出结论:
,
于是,根据纯量积的定义,它等于
的绝对值,即:
。
证毕。
最后一个表达式也可以写成以下行列式的绝对值:
。
若
、
及
是三条两两相邻的棱长,且
、
及
是三条棱边的夹角,则平行六面体的体积为:
。
证明
从上面可知,平行六面体的体积可表示为:
![{\displaystyle V=|\det \mathbf {D} |}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9cb59fd5a3b98704e0e30ad96ec89ebe6476c6b)
其中:
。
因此
![{\displaystyle V^{2}=\det(\mathbf {D} \mathbf {D} ^{t})=\det {\begin{bmatrix}a\cdot a&a\cdot b&a\cdot c\\b\cdot a&b\cdot b&b\cdot c\\c\cdot a&c\cdot b&c\cdot c\end{bmatrix}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8243c08ae6adf55e816d3d837bed6ad011a2230e)
依行列式及纯量积定义展开公式右手边,即可得上述公式。
选取任意一顶点
以其相邻三个顶点
、
及
,则体积可表示为:
![{\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&z_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&z_{3}&1\\x_{4}&y_{4}&z_{4}&1\\\end{bmatrix}}\right|.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e13091ceece522f9972578a282d7b9191fb5aebd)
如果平行六面体具有对称平面,则一定是以下两种情况之一:
- 四个面是长方形;
- 两个面是菱形,而在另外四个面中,两个相邻面相等,另外两个面也相等。
长方体是六个面都是长方形的平行六面体;正方体是六个面都是正方形的平行六面体。
菱面体是六个面都是菱形的平行六面体;三方偏方面体是所有菱形面都全等的菱面体。
完美平行六面体指棱长、面对角线和体对角线都是整数的平行六面体。在2009年,发现了数十个完美平行六面体的例子[1],包括棱长271、106及103,劣面对角线长101、 266及255,优面角线长183、 312及323,以及体对角线长374、 300、 278及272的平行六面体。
平行六面体在高维空间的推广称为超平行体。
特别地,n维空间中的超平行体称为n维超平行体。因此,平行四边形就是2维超平行体,平行六面体就是3维超平行体。
n维超平行体的所有对角线相交于一点,并被这个点所平分。
位于
空间中的n维超平行体的n维体积(
),可以用格拉姆行列式的方法来计算。
- ^ Sawyer, Jorge F.; Reiter, Clifford A. Perfect parallelepipeds exist. Mathematics of Computation. 2011, 80: 1037–1040. arXiv:0907.0220
. doi:10.1090/s0025-5718-2010-02400-7. .