海伦公式(英语:Heron's formula或Hero's formula),又译希罗公式[1]。由古希腊数学家亚历山大港的希罗发现,并在其于公元60年所著的《Metrica》中载有数学证明,原理是利用三角形的三条边长求取三角形面积。亦有认为更早的阿基米德已经了解这条公式,因为《Metrica》是一部古代数学知识的结集,该公式的发现时间很有可能先于希罗的著作。[2]
假设有一个三角形,边长分别为
,三角形的面积
可由以下公式求得:
,其中![{\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/787a98dac5681f383514fc1bd5b4d8e561a3fd21)
中国南宋末年数学家秦九韶发现或知道等价的公式,其著作《数书九章》卷五第二题即三斜求积。“问沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,里法三百步,欲知为田几何?”答曰:“三百十五顷.”其术文是:“以小斜幂并大斜幂,减中斜幂,馀半之,自乘于上;以小斜幂乘大斜幂,减上,馀四约之,为实,一为从隅,开平方,得积。”若以大斜记为
,中斜记为
,小斜记为
,秦九韶的方法相当于下面的一般公式:
,其中![{\displaystyle a\geq b\geq c}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a82e6284fedb32392e7cd3a5d0284907898bb0a)
像其他中国古代的数学家一样,他的方法没有证明。根据现代数学家吴文俊的研究,秦九韶公式可由出入相补原理得出。
由于任何
边的多边形都可以分割成
个三角形,所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候,不用测三角形的高,只需测两点间的距离,就可以方便地导出答案。
与希罗在他的著作《Metrica》中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边
的对角分别为
,则余弦定理为
![{\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90d013f8ae80e83f4fe4a843989cb3bab8bfc5e0)
利用和平方、差平方、平方差等公式,从而有
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin C&={\sqrt {1-\cos ^{2}C}}\\&={\sqrt {(1+\cos C)(1-\cos C)}}\\&={\sqrt {\left(1+{\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)\left(1-{\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)}}\\&={\sqrt {\left[{\frac {(a+b)^{2}-c^{2}}{2ab}}\right]\left[{\frac {c^{2}-(a-b)^{2}}{2ab}}\right]}}\\&={\frac {\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)}}{2ab}}\\&={\frac {\sqrt {(2s)(2s-2c)(2s-2b)(2s-2a)}}{2ab}}\\&={\frac {2}{ab}}{\sqrt {s(s-c)(s-b)(s-a)}}\end{aligned}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95b3ef2caa93db677cfa147b18e43e4018d9609f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}ab\sin C\\&={\frac {ab}{2}}\cdot {\frac {2}{ab}}{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\end{aligned}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ceaa2802798acb26663a184abdc14ecaa1f23cf5)
![{\displaystyle b^{2}=h^{2}+d^{2}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15a0f7ad5c50ad94fcd4128c77068a704b49519e)
![{\displaystyle a^{2}=h^{2}+(c-d)^{2}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9708cb99d2c91911577e2de3c24cd368c381d13)
![{\displaystyle a^{2}-b^{2}=c^{2}-2cd}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d814adb63d63d1852765e23a60a589db17cb309c)
![{\displaystyle d={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8dcb715492c07b74a8e4aa5c24b81a04d9811f4)
![{\displaystyle {\begin{aligned}h^{2}&=b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}\\&={\frac {(2bc-a^{2}+b^{2}+c^{2})(2bc+a^{2}-b^{2}-c^{2})}{4c^{2}}}\\&={\frac {((b+c)^{2}-a^{2})(a^{2}-(b-c)^{2})}{4c^{2}}}\\&={\frac {(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^{2}}}\\&={\frac {2(s-a)\cdot 2s\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-b)}{4c^{2}}}\\&={\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}\end{aligned}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31b84a229e3a0ca622f95fb4de1a6840c5522e21)
![{\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {ch}{2}}\\&={\sqrt {{\frac {c^{2}}{4}}\cdot {\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\end{aligned}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d196fa4bd0844cb46e2db39e1664797b39956fe)
设
中,
。
为内心,
为三旁切圆。
四点共圆,并设此圆为圆
。
- 过
做铅直线交
于
,再延长
,使之与圆
交于
点。再过
做铅直线交
于
点。
- 先证明
为矩形:
,又
(圆周角相等)。
为矩形。因此,
。
内切圆半径
,
旁切圆半径
。且易知
。由圆幂性质得到:
。故![{\displaystyle {\frac {a+b-c}{2}}\times {\frac {c+a-b}{2}}={\frac {\bigtriangleup }{\frac {a+b+c}{2}}}\times {\frac {\bigtriangleup }{\frac {b+c-a}{2}}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/632c6dd7b66d149c0f0d55b98f1ad3be702229e0)
![{\displaystyle \Rightarrow \bigtriangleup ={\sqrt {{\frac {a+b+c}{2}}\times {\frac {b+c-a}{2}}\times {\frac {a+c-b}{2}}\times {\frac {a+b-c}{2}}}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d771eccab395176faabfd85426ce8b8703a17c21)