么半範疇
外觀
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張量範疇(tensor category),或曰幺半範疇(monoidal category), 直覺地講,是個配上張量積的阿貝爾範疇(abelian category),可當作環的範疇化。
定義
[編輯]數學中,一個張量範疇(tensor category,或稱幺半範疇 monoidal category)是一個包含單一個對象的雙範疇)bicategory)。 更具體的描述:一個張量範疇是
- 一個範疇 ;
- 被賦予張量積,即一個二元函子
- ;
- 被賦予一個單位對象 ;
- 被賦予三組自然同構映射:
- 結合子: ;
- 左/右單位子: 自然同構映射 , :
- ,
- ;
- 滿足以下相容條件:
在這以上兩道相容條件下,任何以結合子,左右單位子和張量積組成的圖表都交換,因為 Mac Lane 凝聚定理(Mac Lane's coherence theorem): 每個幺半範疇都 幺半等價(monoidally equivalent) 於一嚴格幺半範疇(見下).
嚴格幺半範疇
[編輯]嚴格幺半範疇(strict monoidal category) 是個幺半範疇 ,其自然態射 , 和 都是恆等影射.
取任一 範疇 , 我們可構築其 自由嚴格幺半範疇 :
- 對象:其每一對象是一串由裡面的對象組成之有限序列 );
- 態射:當且僅當時,我們在二個對象 和 之間定義 態射:每 -態射 是一串由 -態射組成的有限序列 ;
- 張量積: 二個-對象 及 之張量積, 我們定義為 此二有限序列之串接(concatenation) ; 同樣地任何二 -態射之張量積, 我們定義為其串接。
按:此算符 ,向由任一 範疇 配上 ,可推廣到 上的嚴格-2-單子 (strict 2-monad)。
例
[編輯]取任一範疇,若以其平常範疇積作張量積,以其終對象作單位對象,則成為一個張量範疇。 亦可取任一範疇,以其餘積(co-product)作張量積,以其始對象作單位對象,亦成一個張量範疇。 (此二例實為對稱么半範疇結構。) 但亦有許多張量範疇(例如:-Mod,如下),其張量積 既非 範疇積 亦非 範疇餘積。
以下舉張量範疇二例——向量空間範疇和集合範疇——並表明其類比:
-Mod | Set |
---|---|
取任一域 或交換環 , 各 -模 所成之 範疇 -模 (若R 為一域, 則 R-模即 R-向量空間) 是一 對稱么半範疇;其張量積 ⊗ 與單位對象為:. | 範疇 集 為一對稱么半範疇賦有張量積 × 與單位對象 {*}. |
單元結合代數為-模之 一對象,賦上態射 與 並滿足以下條件: | A 么半群 為一對象 M ,配上態射 與
並滿足 |
![]() |
![]() |
and | 與 |
![]() |
![]() |
A 餘代數(coalgebra) 是一個 對象 C ,被賦予 態射
和 並滿足以下條件: |
集內每一對象(即每一集合)S, 都被賦予 態射
和 滿足以下條件: |
![]() |
![]() |
and | and |
![]() |
![]() |
此 ε 是唯一的,因為 (即一元集合)是個終對象. |
相關的結構
[編輯]- 很多張量範疇更進一步有 辮, 交換態射 or 封閉等結構. 詳見下述參考。
- 么半函子為二張量範疇(么半範疇)間、保存張量積結構之函子; 么半態射為二么半函子間之態射(自然變換 (natural transformations))。
- 一般么半群之概念可推廣成么半範疇中的么半對象。尤其者,可視一嚴格么半範疇作 範疇之「範疇」 Cat中的么半對象(並以卡氏積為么半結構)。
- 上有界交半格 構成一嚴格對稱么半範疇:其積為交,而單位元則為頂。
應用
[編輯]參考
[編輯]- Mac Lane, Saunders (1963). "Natural Associativity and Commutativity". Rice University Studies 49, 28–46.
- Kelly, G. Max (1964). "On MacLane's Conditions for Coherence of Natural Associativities, Commutativities, etc." Journal of Algebra 1, 397–402
- Joyal, André; Street, Ross (1993). "Braided Tensor Categories". Advances in Mathematics 102, 20–78.
- Mac Lane, Saunders (1997), Categories for the Working Mathematician (2nd ed.). New York: Springer-Verlag.
- Baez, John, Definitions (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)
- : <<Braided Category>>, <<Encyclopaedia of Mathematics>>,Springer On-line Reference Works (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)