代數拓撲
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代數拓撲(英語:Algebraic topology)是使用抽象代數的工具來研究拓撲空間的數學分支。其基本目標是通過尋找拓撲空間的具有代數結構的不變量,從而將拓撲空間分類。
儘管代數拓撲學主要通過代數研究拓撲問題,但有時也可以使用拓撲學知識解決代數問題。例如,代數拓撲學可以方便地證明自由群的任何子群又是一個自由群。
代數拓撲的主要分支
[編輯]代數拓撲的幾個主要分支如下:
同倫群
[編輯]在數學中,同倫群是一個用於分類拓撲空間。基本群是同倫群最簡單的例子,記錄了空間中環結的信息。直觀上來說,同倫群記錄了拓撲空間中的基本形狀,即「孔洞」的信息。
同調
[編輯]在代數拓撲和抽象代數中,同調(homology,名稱部分來源於希臘語ὁμός homos = "同")是一類將一個阿貝爾群或模的序列聯繫到一個給定數學對象(如拓撲空間、群等)的過程[1]
上同調
[編輯]在同調論中,上同調是對一個在上鏈復形(co-chain)上定義一個阿貝爾群的序列的過程的統稱。換言之,上同調是對「上鏈」、餘圈(cocycle)和上邊緣(coboundary)的抽象研究。上同調可以看作是一種對拓撲空間賦予代數不變量的方法,但其代數結構比同調更為精煉。上同調源於同調的構造過程的代數對偶。通俗意義上講,上鏈的基本意義是為同調的鏈賦予某種「量」。
流形
[編輯]流形是局部上近似於歐幾里得空間的拓撲空間。更精確的說,n-流形上的每一點都有一個同胚於n維歐式空間的鄰域。舉例來說,直線和圓都是一維流形,但數字8則不是。二維流形也稱作曲面。二維流形的例子有平面、球面和環面等可看作三維空間中的物體的對象,但也包括克萊因瓶和實射影平面等不可看作三維空間裡的物體,而必須看作四維空間裡的物體的對象。
紐結理論
[編輯]紐結理論是對(數學意義上的)紐結的研究。雖然紐結的概念是受現實生活中的繩結啟發,對數學家而言「繩結」的兩端是粘連在一起的,因而不能解開。在數學上,紐結的精確定義為圓在三維歐幾里得空間R3的嵌入。若一個紐結能由另一個紐結通過對R3變形而得到(亦稱環境同痕),我們就將其視為同一個紐結。這樣的對環境的變換相當於對一個線圈進行連續操作,但避免剪開線圈或使線圈穿過自身。
復形
[編輯]單純復形是拓撲空間的一類,由點、線段、三角形等單純形「粘合」而成。單純復形不應當與範疇同倫論中的單純集合混淆。單純形在組合學中對應於抽象單純形。
CW復形是一種拓撲空間,由J.H.C.懷特海德為迎合同倫論的需要而引入。這類空間比單純形有更良好的範疇學性質,且仍舊保留其組合學的本質,因此計算方面的考慮沒有被忽略。
代數不變量方法
[編輯]這裡的目標是取拓撲空間然後把它們進一步分成範疇或分類。該課題的舊稱之一是組合拓撲,蘊含着將重點放在如何從更簡單的空間構造空間X的意思。現在應用於代數拓撲的基本方法是通過函子,把空間映射到相應的代數範疇上。例如,通過一種保持空間的同胚關係的方式映射到群上。
實現這個目標的主要方法是通過基本群,或者更一般的同倫論,和同調及上同調群。基本群給了我們關於拓撲空間結構的基本信息,但它們經常是非交換的,可能很難使用。(有限)單純復形的基本群的確有有限表示。
另一方面來講,同調和上同調群是交換群,並且在許多重要情形下是有限生成的。有限生成交換群有完整的分類,並且特別易於使用。
同調的結果
[編輯]通過使用有限生成可交換群可以立刻得出幾個有用的結論。單純復形的n-階同調群的自由階等於n-階貝蒂數(Betti number),所以可以直接使用單純復形的同調群來計算它的歐拉示性數。作為另外一個例子,閉流形的最高維的積分上同調群可以探測可定向性:該群同構於整數或者0,分別在流形可定向和不可定向時。這樣,很多拓撲信息可以在給定拓撲空間的同調中找到。
在只定義在單純復形的單純同調之上,還可以使用光滑流形的微分結構來通過德拉姆上同調或Čech上同調或層上同調來研究定義在流形上的微分方程的可解性。德拉姆證明所有這些方法是相互關聯的,並且對於閉可定向流形,通過單純同調得出的貝蒂數和從德拉姆上同調導出的是一樣的。
在範疇論中
[編輯]一般來講,所有代數幾何的構造都是函子式的:概念範疇,函子和自然變換起源於此。基本群,同調和上同調群不僅是兩個拓撲空間同胚時的不變量;而且空間的連續映射可以導出所相關的群的一個群同態,而這些同態可以用於證明映射的不存在性(或者,更深入的,存在性)。
代數拓撲的問題
[編輯]代數拓撲的經典應用包括:
- 布勞威爾不動點定理:每個從n維圓盤到自身的連續映射存在一個不動點。
- n維球面可以有一個無處為0的連續單位向量場當且僅當n是奇數。(對於n=2,這有時被稱為"毛球定理"。)
- 博蘇克-烏拉姆定理:任何從n維球面到歐氏n維空間的映射至少將一對對角點映射到同一點。
- 任何自由群的子群是自由的。這個結果很有意思,因為該命題是純代數的而最簡單的證明卻是拓撲的。也就是說,任何自由群G可以實現為圖X的基本群。覆蓋空間的主定理告訴我們每個G的子群H是某個X的覆蓋空間Y的基本群;但是每個這樣的Y又是一個圖。所以其基本群H是自由的。
代數拓撲中最著名的問題之一是龐加萊猜想,它已經由俄國數學家格里戈里·佩雷爾曼於2003年解決。同倫論領域包含了很多懸疑,如表述球面的同倫群的正確方式等。
重要著作
[編輯]參考文獻
[編輯]引用
[編輯]- ^ Fraleigh (1976, p. 163)
來源
[編輯]- Allen Hatcher, Algebraic Topology ,劍橋大學出版社,劍橋,2002年。ISBN 0-521-79540-0.現代的帶幾何特色的代數拓撲介紹。該書有免費PDF和PostScript格式免費下載,網址作者的主頁(頁面存檔備份,存於網際網路檔案館).
- C. R. F. Maunder, Algebraic Topology(1970)Van Nostrand Reinhold, London ISBN 73-105346.
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