數學上,廣義正交群或稱偽正交群、不定正交群O(p,q)是所有保持n=p+q維實向量空間上的符號為 (p,q)的非退化對稱雙線性形式的線性變換組成的李群。這個群的維數是n(n−1)/2。
廣義特殊正交群SO(p,q)是O(p,q)中所有行列式為1的元素構成的子群。
度量的符號(p、q分別為正負特徵值的個數)在同構的意義下決定該群;交換p和q相當於度量改變慣性指數,所以給出同樣的群。如果p或q等於0,那麼同構於普通正交群O(n)。我們假設下文中p和q均是正整數。
群O(p,q)定義在實向量空間上。對於複空間,所有群O(p,q; C)都同構於通常正交群O(p + q; C),因為複共軛變換
能改變二次型的慣性指數。
和經典正交群O(n)一樣,O(p,q)能表示為矩陣群。Rp,q上由對角矩陣給出標準內積:
![{\displaystyle \eta =\mathrm {diag} (\underbrace {1,\cdots ,1} _{p},\underbrace {-1,\cdots ,-1} _{q}).\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66d7ce7f98223ff713d32caa5730e7603d0a83ec)
作為二次型,
群O(p,q)是由n×n矩陣M(這裡n = p+q)使得
。,或作為雙線性形式
組成的群。
這裡MT表示矩陣M的轉秩。容易驗證所有這樣的矩陣構成一個群。M的逆滿足
![{\displaystyle M^{-1}=\eta ^{-1}M^{T}\eta .\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeb87f9bd9d341b7942ed71fa1303c12463e43d7)
我們得到一個同構群。事實上將η換成任意p個正特徵值q個負特徵值的對稱矩陣(這樣的矩陣必是非奇異的),等價的,任何符號為 (p,q)的二次型。對角化這個矩陣給出此群共軛於標準群O(p,q)。
O(p,q)和SO(p,q)都不是連通的,分別有4個和2個分支。
是克萊因四元群,每個分支保持或改變p維正定或q維負定子空間的定向。特殊正交群有分支
,同時保持或同時改變兩個定向。
O(p,q)的單位分支常記作SO+(p,q),能和SO(p,q)中同時保持兩個定向的元素的集合等價起來。
群O(p,q)也不是緊,但包含緊子群O(p)和O(q),分別作用在兩個確定子空間上。事實上,O(p)×O(q)是O(p,q)的極大緊子群。而
是SO(p,q)的極大緊子群。同樣,SO(p)×SO(q)是SO+(p, q)的極大緊子群。從而在同論的意義上來說,這些群是(特殊)正交群的積,這樣代數拓撲不變量都可以計算出來。
特別的,SO+(p, q)的基本群是分支基本群的乘積,
,由下表給出:
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![{\displaystyle \mathbf {Z} }](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b776aaf12c2da4b78ca777cb8295c2000bfd51f5) |
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![{\displaystyle \mathbf {Z} }](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b776aaf12c2da4b78ca777cb8295c2000bfd51f5) |
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![{\displaystyle \mathbf {Z} _{2}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f3b518a93ad59911a077e8f316a4ea4aebc870c) |
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- V. L. Popov, Orthogonal group, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- Anthony Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction, Second Edition, Progress in Mathematics, vol. 140, Birkhäuser, Boston, 2002. ISBN 0-8176-4259-5. (372頁有不定正交群的描述)
- Joseph A. Wolf, Spaces of constant curvature, (1967) 335頁。