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柯西積分定理

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柯西積分定理(或稱柯西-古薩定理),是一個關於複平面全純函數路徑積分的重要定理。柯西積分定理說明,如果從一點到另一點有兩個不同的路徑,而函數在兩個路徑之間處處是全純的,則函數的兩個路徑積分是相等的。另一個等價的說法是,單連通閉合區域上的全純函數沿着任何可求長閉合曲線的積分是0.

定理

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複平面的一個單連通的開子集是一個上的全純函數。設內的一個分段可求長的簡單閉曲線(即連續而不自交並且能定義長度的閉合曲線),那麼:

[1]:52

單連通條件的必要性

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單連通表示中沒有「洞」,例如任何一個開圓盤都符合條件,這個條件是很重要的,考慮中央有「洞」的圓盤:,在其中取逆時針方向的單位圓路徑:

考慮函數,它在中是全純函數,但它的路徑積分:

不等於零。這是因為函數在「洞」中有奇點。如果考慮整個圓盤,就會發現在圓盤中央的點上沒有定義,不是全純函數。[2]:419

等價敘述

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柯西積分定理有若干個等價的敘述。例如: 設複平面的一個開子集是一個定義在上的函數。設內的兩條可求長的簡單曲線,它們的起點和終點都重合:

並且函數圍成的閉合區域內是全純函數,那麼函數沿這兩條曲線的路徑積分相同:

推廣

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除了對分段可求長的簡單閉合曲線成立以外,柯西積分定理對於某些更複雜的曲線也適用。設複平面的一個開子集是定義在上的全純函數。無論內的曲線是自交還是卷繞數多於1(圍着某一點轉了不止一圈),只要能夠通過連續形變收縮為內的一點,就有:

[1]:59

證明

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以下的證明對函數有較為嚴格的要求,但對物理學中的應用來說已經足夠。設複平面的一個開子集是定義在上的全純函數,內的可求長的簡單閉合曲線。假設的一階偏導數也在上連續,那麼可以根據格林定理作出證明。具體如下:

為了便於表達,將函數寫為實部函數和虛部函數: 由於,積分

依據格林定理,右端的兩個環路積分都可以變形為圍成的區域上的面積分。

另一方面,由於是全純函數,所以它的實部函數和虛部函數滿足柯西-黎曼方程

所以以上的兩個積分中的被積函數都是0,

因而積分也是0:

[2]:420-421

推論

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該定理的一個直接推論,是在單連通域內全純函數的路徑積分可以用類似於微積分基本定理的方法來計算:設複平面的一個開子集是一個上的全純函數。函數內的路徑積分,只與積分的起點和終點有關,與中間經歷的路徑無關。假設,起點為a,則可以定義一個函數

其中的可以是任何以a為起點,b為終點的分段可求長簡單曲線。函數被稱為的(復)原函數或反導數函數。[2]:422

柯西積分定理與柯西積分公式是等價的。從柯西積分定理可以推導出柯西積分公式留數定理

參見

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參考來源

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腳註

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  1. ^ 1.0 1.1 鄭建華. 《复变函数》. 清華大學出版社. 2005. ISBN 9787302096931. 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 George B. Arfken, Hans J. Weber. Mathematical Methods for Physicists. Elsevier Academic Press(第6版). 2005. ISBN 0-12-088584-0 (英語). 

參考文獻

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  • Kaplan, W. "Integrals of Analytic Functions. Cauchy Integral Theorem." §9.8 in Advanced Calculus, 4th ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 594-598, 1991.
  • Knopp, K. "Cauchy's Integral Theorem." Ch. 4 in Theory of Functions Parts I and II, Two Volumes Bound as One, Part I. New York: Dover, pp. 47-60, 1996.
  • Krantz, S. G. "The Cauchy Integral Theorem and Formula." §2.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 26-29, 1999.
  • Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 363-367, 1953.
  • Woods, F. S. "Integral of a Complex Function." §145 in Advanced Calculus: A Course Arranged with Special Reference to the Needs of Students of Applied Mathematics. Boston, MA: Ginn, pp. 351-352, 1926.

外部連結

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