在數學的領域中,若兩個數學對象在各個方面都相同,則稱他們是相等的。這就定義了一個二元謂詞等於,寫作「
」;
當且僅當
和
相等。通常意義上,等於是通過兩個元素間的等價關係來構造的。將兩個表達式用等於符號連起來,就構成了等式,例如
,即
與
是相等的。
注意,有些時候「
」並不表示等式。例如,
表示在數量級
上漸進。因為這裡的符號「
」不滿足若且唯若的定義,所以它不等於等於符號;實際上,
是沒有意義的。請參見大O符號了解這部分內容。
等價二元關係的表格
集合
上的等於關係是種二元關係,滿足自反性,對稱性,反對稱性和傳遞性。
實際上,這是
上唯一滿足所有這些性質的關係。
去掉對反對稱性的要求,就是等價關係。
相應的,給定任意等價關係
,可以構造商集
,並且這個等價關係將『下降為』
上的等於。
在任何條件下都成立的等式稱為恆等式,包含未知數的等式稱為方程式。
謂詞邏輯含有標準的關於相等的公理來形式化萊布尼茨律。萊布尼茨律是由哲學家萊布尼茨在17世紀提出來的。
萊布尼茨的想法是,兩樣物體是同一的,當且僅當它們有完全相同的性質。
形式化這一說法,可以寫成
- 對任意
和
,
當且僅當對任意謂詞
,
當且僅當
。
然而,在一階邏輯中,不能對謂詞進行量化。因此,需要使用下述公理:
- 對任意
和
,若
等於
,則
當且僅當
。
這條公理對任意單變量的謂詞
都有效,但只定義了萊布尼茨律的一個方向:若
和
相等,則它們具有相同的性質。
可以通過簡單的假設來定義萊布尼茨律的另一個方向:
- 對任意
,
等於
。
則若
和
具有相同的性質,則特定的它們關於謂詞
是相同的。這裡謂詞
為:
當且僅當
。
由於
成立,
必定也成立(相同的性質),所以
(' '
的變量為
).
對任意量
和
和任意表達式
,若
,則
(設等式兩邊都有意義)。
在一階邏輯中,不能量化像
這樣的表達式(它可能是個函數謂詞)。
一些例子:
- 對任意實數
,若
,則
(這裡
為
)
- 對任意實數
,若
,則
(這裡
為
)
- 對任意實數
,若
,則
(這裡
為
)
- 對任意實數
,若
且
,則
(這裡
為
)
對任意量
,
。
這個性質通常在數學證明中作為中間步驟。
例子:如果
,那麼
例子:如果
,
,那麼
實數或其他對象上的二元關係「約等於」,即使進行精確定義,也不具有傳遞性(即使看上去有,但許多小的差能夠疊加成非常大)。然而,在絕大多數情況下,等於具有傳遞性。
儘管對稱性和傳遞性通常看上去是基本性質,但它們能夠通過替代性和自反性證明得到。
「等於」符號或 「
」被用來表示一些算術運算的結果,是由羅伯特·雷科德在1557年發明的。
由於覺得書寫文字過於麻煩,雷科德在他的作品 The Whetstone of Witte 中採用了這一符號。原因是符號中的兩條線一樣長,表明其連接的兩個量也相等。這一發明在威爾士的St Mary教堂有記錄。
約等於的符號是
或≒,不等於的符號是
。