絕熱指數(英語:adiabatic index)是指等壓熱容(
)和等容(等體積)熱容(
)的比值,也稱為熱容比(英語:heat capacity ratio)、比熱比(英語:specific heat ratio)或絕熱膨脹係數(英語:isentropic expansion factor),常用符號
或
表示。後者常在化學工程領域中使用,在機械工程領域中,會使用字母K表示絕熱指數[1]:
![{\displaystyle \gamma ={\frac {C_{P}}{C_{v}}}={\frac {c_{P}}{c_{v}}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff0c72cb754f05ef2ac1ae0812148e93b3f8f89e)
其中,
是氣體的熱容,
是氣體比熱容,而下標
及
分別表示在等壓條件及等體積條件下的結果。
絕熱指數也可表示為以下的形式
![{\displaystyle \gamma ={\frac {C_{P,m}}{C_{v,m}}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1b5a046f5573baafd3a7ec8bb5908f118305e81)
其中,
是氣體的等壓摩爾熱容,也就是一摩爾氣體的等壓熱容,
是氣體的等容摩爾熱容。
絕熱指數也是理想氣體在等熵過程(準靜態、可逆的絕熱過程)下的多方指數,即以下體積和壓強關係式中體積的次方:
![{\displaystyle pV^{\gamma }={\text{const}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ea13e8b3596f2b267b97928a84241212354fcc9)
其中
是壓力而
是體積。
理想氣體的熱容不隨溫度變化。焓及內能分別為
及
。因此絕熱指數也可以視為是焓及內能的比值:
![{\displaystyle \gamma ={\frac {H}{U}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db614316f8cc9dd26314b5f091c1dd7749227123)
理想氣體的定壓莫耳熱容及定容莫耳熱容及氣體常數(
)之間有以下的關係
![{\displaystyle C_{p,m}-C_{V,m}=R\!}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1e5d8c840254455551c0acde0c859e4ada05267)
因此莫耳熱容也可以用絕熱指數(
)及氣體常數表示:
![{\displaystyle C_{p,m}={\frac {\gamma R}{\gamma -1}}\qquad {\mbox{,}}\qquad C_{V,m}={\frac {R}{\gamma -1}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26cc74fc7fe7a83e99452a8b9925d25daa2e6f47)
理想氣體分子的原子數和等容摩爾熱容(
)、等壓摩爾熱容(
)及絕熱指數
之間的關係
|
![{\displaystyle C_{V,m}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/582a605ab6348b7d7caba07b63c2647fc53c0a50) |
![{\displaystyle C_{p,m}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ccf6b7671259c85a73e29bc870010db9a7d2288) |
|
單原子氣體 |
![{\displaystyle {\frac {3}{2}}\cdot R}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2aca719502e1cfeefdcb7543ff6211e8d9a5410) |
![{\displaystyle {\frac {5}{2}}\cdot R}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d2f4f7f3d389b4f3915d507c9f5080ce408fce7) |
|
雙原子氣體 |
![{\displaystyle {\frac {5}{2}}\cdot R}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d2f4f7f3d389b4f3915d507c9f5080ce408fce7) |
![{\displaystyle {\frac {7}{2}}\cdot R}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cb5b0ecaa0e480a5fbed1961f5b3f350846f244) |
|
三原子氣體 |
![{\displaystyle {\frac {6}{2}}\cdot R}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0d74e2f65d0ed04aa15fcafd3e3a6be740baa9a) |
![{\displaystyle {\frac {8}{2}}\cdot R}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac13f2f82bcea0eb9cf142671f871d3bdf6cef03) |
|
理想氣體的絕熱指數(
)和分子的自由度之間,有以下的關係:
![{\displaystyle \gamma \ ={\frac {f+2}{f}}\qquad {\mbox{, }}\qquad f={\frac {2}{\gamma -1}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/594c1f9b2bdb4b3258b18a35db3246afd4548b2c)
單原子氣體的自由度是3,因此絕熱指數為:
,
雙原子氣體,在室溫下的自由度為5(平移自由度3,旋轉自由度2,室溫下不考慮振動自由度),因此絕熱指數為:
.
空氣主要由雙原子氣體組成,包括約78%的氮氣(N2)及約21%的氧氣(O2),室溫下的乾燥空氣可視為理想氣體,因此其絕熱指數為:
.
以上數據和實際量測而得的數據1.403相當接近。
在一些特定的工程應用中(如計算氣體經過導管或閥的流速),
(n為莫耳數)的關係不夠準確,因此定體積熱容
需要由實測求得,若依下式計算定體積熱容
,即得求得精確的絕熱指數
:
![{\displaystyle C_{p}-C_{v}\ =\ -T{\frac {\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P}^{2}}{\left({\frac {\partial V}{\partial P}}\right)_{T}}}\ =\ -T{\frac {{\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)}^{2}}{\frac {\partial P}{\partial V}}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0ce080cfd5153cd81b170cf44dff3782d4c9cec)
其中
的數值可以由查表求得。
上述的定義可由來推導嚴謹的狀態方程式(例如Peng-Robinson狀態方程式),這些方程式所求得的值和實測值非常接近,因此定體積熱容或絕熱指數可直接用方程式計算,不需查表。也可以利用有限差分法來計算其數值。
各種氣體的絕熱指數[2][3]
|
溫度
|
氣體
|
γ
|
|
溫度
|
氣體
|
γ
|
|
溫度
|
氣體
|
γ
|
−181°C
|
H2
|
1.597
|
200°C
|
乾空氣
|
1.398
|
20°C
|
NO
|
1.400
|
−76°C
|
1.453
|
400°C
|
1.393
|
20°C
|
N2O
|
1.310
|
20°C
|
1.410
|
1000°C
|
1.365
|
−181°C
|
N2
|
1.470
|
100°C
|
1.404
|
2000°C
|
1.088
|
15°C
|
1.404
|
400°C
|
1.387
|
0°C
|
CO2
|
1.310
|
20°C
|
Cl2
|
1.340
|
1000°C
|
1.358
|
20°C
|
1.300
|
−115°C
|
CH4
|
1.410
|
2000°C
|
1.318
|
100°C
|
1.281
|
−74°C
|
1.350
|
20°C
|
He
|
1.660
|
400°C
|
1.235
|
20°C
|
1.320
|
20°C
|
H2O |
1.330
|
1000°C
|
1.195
|
15°C
|
NH3
|
1.310
|
100°C
|
1.324
|
20°C
|
CO
|
1.400
|
19°C
|
Ne
|
1.640
|
200°C
|
1.310
|
−181°C
|
O2
|
1.450
|
19°C
|
Xe
|
1.660
|
−180°C
|
Ar
|
1.760
|
−76°C
|
1.415
|
19°C
|
Kr
|
1.680
|
20°C
|
1.670
|
20°C
|
1.400
|
15°C
|
SO2
|
1.290
|
0°C
|
乾空氣
|
1.403
|
100°C
|
1.399
|
360°C
|
Hg
|
1.670
|
20°C
|
1.400
|
200°C
|
1.397
|
15°C
|
C2H6
|
1.220
|
100°C
|
1.401
|
400°C
|
1.394
|
16°C
|
C3H8
|
1.130
|
- ^ Robert W. Fox, Philip J. Pritchard and Alan T. McDonald. Introduction to Fluid Mechanics 6th. Wiley. 2008. ISBN 9780471202318.
- ^ White, Frank M.: Fluid Mechanics 4th ed. McGraw Hill
- ^ Lange's Handbook of Chemistry, 10th ed. page 1524