在量子力學裏,角動量算符(英語:angular momentum operator)是一種算符,類比於經典的角動量。在原子物理學涉及旋轉對稱性(rotational symmetry)的理論裏,角動量算符佔有中心的角色。角動量,動量,與能量是物體運動的三個基本特性[1]。
角動量促使在旋轉方面的運動得以數量化。在孤立系統裏,如同能量和動量,角動量是守恆的。在量子力學裏,角動量算符的概念是必要的,因為角動量的計算實現於描述量子系統的波函數,而不是經典地實現於一點或一剛體。在量子尺寸世界,分析的對象都是以波函數或量子幅來描述其機率性行為,而不是命定性(deterministic)行為。
在經典力學裏,角動量
定義為位置
與動量
的叉積:
。
在量子力學裏,對應的角動量算符
定義為位置算符
與動量算符
的叉積:
。
由於動量算符的形式為
。
角動量算符的形式為
。
其中,
是梯度算符。
在量子力學裏,每一個可觀察量所對應的算符都是厄米算符。角動量是一個可觀察量,所以,角動量算符應該也是厄米算符。讓我們現在證明這一點,思考角動量算符的 x-分量
:
。
其伴隨算符
為
。
由於
、
、
、
,都是厄米算符,
。
由於
與
之間、
與
之間分別相互對易,所以,
。
因此,
是一個厄米算符。類似地,
與
都是厄米算符。總結,角動量算符是厄米算符。
再思考
算符,
。
其伴隨算符
為
。
由於
算符、
算符、
算符,都是厄米算符,
。
所以,
算符是厄米算符。
兩個算符
與
的交換算符
,表示出它們之間的對易關係。
思考
與
的交換算符,
。
由於兩者的對易關係不等於 0 ,
與
彼此是不相容可觀察量。
與
絕對不會有共同的基底量子態。一般而言,
的本徵態與
的本徵態不同。
給予一個量子系統,量子態為
。對於可觀察量算符
,所有本徵值為
的本徵態
,形成了一組基底量子態。量子態
可以表達為這基底量子態的線性組合:
。對於可觀察量算符
,所有本徵值為
的本徵態
,形成了另外一組基底量子態。量子態
可以表達為這基底量子態的線性組合:
。
根據哥本哈根詮釋,量子測量可以用量子態塌縮機制來詮釋。假若,我們測量可觀察量
,得到的測量值為其本徵值
,則量子態機率地塌縮為本徵態
。假若,我們立刻再測量可觀察量
,得到的答案必定是
,量子態仍舊處於
。可是,假若,我們改為測量可觀察量
,則量子態不會停留於本徵態
,而會塌縮為
的本徵態。假若,得到的測量值為其本徵值
,則量子態機率地塌縮為本徵態
。
根據不確定性原理,
。
的不確定性與
的不確定性的乘積
,必定大於或等於
。
與
之間,
與
之間,也有類似的特性。
思考
與
的交換算符,
。
與
是對易的,
與
彼此是相容可觀察量,兩個算符有共同的本徵態。根據不確定性原理,我們可以同時地測量到
與
的本徵值。
類似地,
、
。
與
之間、
與
之間,都分別擁有類似的物理特性。
在經典力學裏,角動量算符也遵守類似的對易關係:
;
其中,
是帕松括號,
是列維-奇維塔符號,
、
、
,代表直角坐標
。
採用球坐標。展開角動量算符的方程式:
;
其中,
、
、
,分別為徑向單位向量、天頂角單位向量、與方位角單位向量。
轉換回直角坐標,
。
其中,
、
、
,分別為 x-單位向量、y-單位向量、與 z-單位向量。
所以,
、
、
分別是
、
、
。
角動量平方算符是
;
其中,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {L}}_{x}^{2}&=-\hbar ^{2}\left(-\sin \phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}-\cot \theta \cos \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)\left(-\sin \phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}-\cot \theta \cos \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)\\&=-\hbar ^{2}\left(\sin ^{2}\phi {\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}+\cot \theta \cos ^{2}\phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}+\cot \theta \sin \phi \cos \phi {\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta \partial \phi }}-\csc ^{2}\theta \sin \phi \cos \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right.\\\end{aligned}}\,\!}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e10f0dfcdf0c0bf066db45b62f4b0b6042092a0)
、
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {L}}_{y}^{2}&=-\hbar ^{2}\left(\cos \phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}-\cot \theta \sin \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)\left(\cos \phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}-\cot \theta \sin \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)\\&=-\hbar ^{2}\left(\cos ^{2}\phi {\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}+\cot \theta \sin ^{2}\phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}-\cot \theta \sin \phi \cos \phi {\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta \partial \phi }}+\csc ^{2}\theta \sin \phi \cos \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right.\\\end{aligned}}\,\!}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2dfbef7e8cf9ed2d9a3e04bf0635fefea82e8ab)
、
。
經過一番繁雜的運算,終於得到想要的方程式[2]:169
。
滿足算符
的本徵函數是球諧函數
:
;
其中,本徵值
是正整數。
球諧函數也是滿足算符
微分方程式的本徵函數:
;
其中,本徵值
是整數,
。
因為這兩個算符的正則對易關係是 0 ,它們可以有共同的本徵函數。
球諧函數
表達為
;
其中,
是虛數單位,
是伴隨勒讓德多項式,用方程式定義為
;
而
是
階勒讓德多項式,可用羅德里格公式表示為:
。
球諧函數滿足正交歸一性:
。
這樣,角動量算符的本徵函數,形成一組單範正交基。任意波函數
都可以表達為這單範正交基的線性組合:
;
其中,
。
- ^ Introductory Quantum Mechanics, Richard L. Liboff, 2nd Edition, ISBN 0201547155
- ^ Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-111892-7
- 聖地牙哥加州大學物理系量子力學視聽教學:角動量加法