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配方法

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動畫描繪了配方法的過程。(動畫版 GIF)

配方法(英語:Completing the square)。

將下方左邊的多項式化成右邊的形式,就是配方法的目標:

,其中常數

簡介

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基本代數中,配方法是一種用來把二次函數化為一個多項式的平方與一個常數的方法。這種方法是把以下的多項式化為以上表達式中的係數本身也可以是表達式,可以含有除以外的變量

配方法通常用來推導出二次方程求根公式

我們的目的是要把方程的左邊化為完全平方。由於問題中的完全平方具有的形式,可導出,因此。等式兩邊加上,可得:

這個表達式稱為二次方程的求根公式。

幾何學的觀點

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幾何學的操作過程

考慮把以下的方程配方:由於表示邊長正方形面積表示邊長為矩形面積,因此配方法可以視為矩形的操作。

如果嘗試把矩形 和兩個合併成一個更大的正方形,這個正方形還會缺一個角。把以上方程的兩端加上,正好是欠缺的角的面積,這就是「配方法」的名稱的由來。

一般公式

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為了得到我們設

得出

證明

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注意。為了把化為 的形式,我們必須進行以下的代換:

現在,依賴於,因此我們可以把來表示:

當且僅當等於零且是正數時,這些方程與以上是等價的。如果是負數,那麼的表達式中的±號都表示負號──然而,如果都是負數的話,那麼的值將不受影響,因此號是不需要的。

例子

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具體例子

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從中我們可以求出多項式為零時的值,也就是多項式的

我們也可以求出取得什麼值時,以下的多項式為最大值或最小值:最高次數的項的係數為正,因此的絕對值越大,就越大。但是,有一個最小值,在任何地方都不能比它更小。從完全平方的形式中,,我們可以看到,如果,那麼;但如果是任何其它的數,都是加上一個非零的平方數。由於非零實數的平方都是正數,因此當不為 時,一定大於−8.45。所以,的最小值。

微積分例子

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假設我們要求出以下函數的原函數這可以用把分母配方來完成。分母是:把兩邊加上,就可以得到一個完全平方,。分母變為:

因此積分為:

複數例子

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考慮以下的表達式:其中複數分別是共軛複數是一個實數。利用恆等式,我們可以把它寫成:這顯然是一個實數。這是因為:

作為另外一個例子,以下的表達式其中是實數,,可以用一個複數的絕對值的平方來表示。定義那麼

因此

方法的變化

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通常配方法是把第三項加在,得出一個平方。我們也可以把中間的項()加在多項式就得出一個平方。

例子:正數與它的倒數的和

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從以下的恆等式中,

我們可以看出,正數與它的倒數的和總是大於或等於 2。

例子:分解四次多項式

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假設我們要把以下的四次多項式分解:也就是:因此中間的項是。所以,我們有:

最後一個步驟是把所有的項按降冪方式排列。

參考文獻

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外部連結

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