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集合域

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集合代數中,,或者代數,是指一種有序對,其中 集合 是由集合 的一些子集構成的一種集類,它滿足 自身是它的元素,且對加法(有限並)封閉和乘法(有限交)及逆(余集)運算封閉。在這樣的集類中,空集類似於 0,因為和它相加(並)的任何集合結果還是自身;全集相當於 1,因為和它相乘(交)的任何集合還是自身。

也可把滿足上述條件的集類稱為代數

定義

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非空集類 若滿足以下條件:

  1. (對有限並、有限交封閉);
  2. (對補集運算封閉).

則稱其為 上的一個代數[1]

或者可以把代數定義為有元素 和空集、對有限交(或有限並)和余集運算封閉的 的子集類[2],這兩者是等價的。

性質

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無論從哪個定義出發,利用德摩根定律和集合交與並運算的分配律,都可列出代數具有如下性質:空集和全集是它的元素、對有限並和有限交封閉、對補集運算封閉、對差集運算封閉。

一個代數也一定是一個[3]。用可列不交並封閉一個代數,將得到一個σ-代數[2]:5,而後者是數學嚴格化測度論與概率論非常重要的一種集類。

其中用可列不交並封閉一個代數 得到的新集類定義是:

其他定義

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  • 冪集布爾代數子代數。在明確上下文時,亦稱 F 為集合域。
  • 的元素稱為,而 的元素稱為復形

集合域在布爾代數的表示理論中扮演中心角色。所有布爾代數都可以被表示為集合域。

參見

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參考

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  1. ^ A.H.施利亞耶夫. 概率(第一卷)(修订和补充第三版). 高等教育出版社. : 134. ISBN 978-7-04-022059-9. 
  2. ^ 2.0 2.1 嚴加安. 测度论讲义. 科學出版社. : 4. ISBN 978-7-03-013409-7. 
  3. ^ 程士宏. 测度论与概率论基础. 北京大學出版社. 2004: 5. ISBN 978-7-301-06345-3. 
  • Goldblatt, R., Algebraic Polymodal Logic: A Survey, Logic Journal of the IGPL, Volume 8, Issue 4, p. 393-450, July 2000
  • Goldblatt, R., Varieties of complex algebras, Annals of Pure and Applied Logic, 44, p. 173-242, 1989
  • Johnstone, Peter T. Stone spaces 3rd edition. Cambridge: Cambridge University Press. 1982. ISBN 0-521-33779-8. 
  • Naturman, C.A., Interior Algebras and Topology, Ph.D. thesis, University of Cape Town Department of Mathematics, 1991