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代數幾何

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陶里亞蒂曲面是一個五階代數曲面英語Algebraic surface。上圖代表曲面的其中一個實軌跡

代數幾何(英語:algebraic geometry)是數學的一個分支,經典代數幾何研究多項式方程的零點。現代代數幾何將抽象代數,尤其是交換代數,同幾何學的語言和問題結合起來。

代數幾何的基本研究對象為代數簇。代數簇是由空間坐標的若干代數方程的零點集。常見的例子有平面代數曲線,比如直線橢圓拋物線雙曲線、三次曲線(非奇異情形稱作橢圓曲線)、四次曲線(如雙紐線,以及卵形線)、以及一般n次曲線。代數幾何的基本問題涉及對代數簇的分類,比如考慮在雙有理等價意義下的分類,即雙有理幾何,以及模空間問題,等等。

代數幾何在現代數學佔中心地位,與多複變函數論英語functions of several complex variables微分幾何拓撲學數論等不同領域均有交叉。始於對代數方程組的研究,代數幾何延續解方程未竟之事;與其求出方程實在的解,代數幾何嘗試理解方程組的解的幾何性質。代數幾何的概念和技巧都催生了某些最深奧的數學的分支。

進入20世紀,代數幾何的研究又衍生出幾個分支:

20世紀以來,代數幾何主流的許多進展都在抽象代數的框架內進行,越發強調代數簇「內蘊的」性質,即那些不取決於代數簇在射影空間的具體嵌入方式的性質,與拓撲學微分幾何復幾何英語Complex geometry等學科的發展相應。抽象代數幾何的一大關鍵成就是格羅滕迪克概形論;概形論允許人們應用層論研究代數簇,某種意義上與應用層論研究微分流形解析流形是否相似。概形論延伸了點的概念。在經典代數幾何中,根據希爾伯特零點定理,一個仿射代數簇的一點對應於坐標環上的一個極大理想,仿射概形上的子簇則對應於坐標環的素理想。而在概型論中,概型的點集包含了經典情況代數簇的點集,以及所有子簇的信息。這種方法使得經典代數幾何(主要涉及閉點)同時聯繫起了微分幾何數論等主流分支的問題研究。

基本概念

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聯立多項式的零點

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球和傾斜的圓周

在古典代數幾何中,主要的研究對象是一組多項式的公共零點集,即同時滿足一個或多個多項式方程的所有點組成的集合。 例如,在三維歐幾里德空間中的單位球面被定義為滿足方程

的所有點的集合。

一個 "傾斜的" 圓周在三維歐幾里德空間中可以被定義為同時滿足如下兩個方程

的所有點的集合。

仿射簇

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現在我們開始進入稍微抽象的領域。考慮一個數域 ,在古典代數幾何中這個域通常是複數,現在我們把它推廣為一個代數封閉的數域。我們定義數域上的維仿射空間,簡單講來,它只是一些點的集合,以下為方便我們簡記為

如果函數

可以被寫為多項式,即如果有多項式

上,

使得對上的每個點

都有

,定義這個函數是正則的。

維仿射空間的正則函數正是數域個變量的多項式。我們將上的正則函數記為

與拓撲場論的關係

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拓撲場論是數學物理中對sigma 模型英語Sigma model的場做路徑積分量子化的理論。

sigma 模型是從一個實二維曲面到一個固定空間的映射,再加上此二維曲面上一些叢的平滑截面。其中映射部份被稱爲玻色場英語bononic field,截面部份被稱爲費米場。該理論的主要目的是通過路徑積分計算配分函數

在一些特殊情況下,可以用局部化方法配分函數原在無限維空間積分化簡爲在有限維空間的積分。對不同的作用量而言,這個過程給出了代數幾何的幾種計數理論,包括:

IIB型弦論則利用了 Hodge 結構的形變來計算。

主要研究者

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註解

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參見

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參考書目

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經典教科書,先於概形:

不使用概形的語言的現代教科書:

關於概形的教科書和參考書:

互聯網上的資料: