弗萊納公式
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在向量微積分中,弗勒內-塞雷公式(Frenet–Serret 公式)用來描述歐幾里得空間R3中的粒子在連續可微曲線上的運動。更具體的說,弗勒內公式描述了曲線的切向,法向,副法方向之間的關係。這一公式由法國數學家讓·弗雷德里克·弗勒內(於1847年的博士論文中)和約瑟夫·阿爾弗雷德·塞雷(於1851年)分別提出。
單位切向量 T,單位法向量 N,單位副法向量 B,被稱作 弗勒內標架,他們的具體定義如下:
弗勒內公式如下:
其中d/ds 是對弧長的微分, κ 為曲線的曲率,τ 為曲線的撓率。弗勒內公式描述了空間曲線曲率撓率的變化規律。
弗勒內公式
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記r(t) 為歐式空間R3中的曲線,表示粒子在時間 t 時刻的位置向量。 弗勒內公式只適用於正則曲線,即速度向量r′(t)和加速度向量r′′(t)不為零的曲線。
記 s(t) 為 t時刻粒子所在位置到曲線上某定點的弧長:
由於假設r′ ≠ 0,因此可以將 t 表示為 s 的函數,因此可將曲線表示為弧長 s 的函數 r(s) = r(t(s))。 s 通常也被稱為曲線的弧長參數。
對於由弧長參數定義的正則曲線 r(s),弗勒內標架 (或弗勒內基底)定義如下:
- 單位切向量 T:
- 主法向量 N:
- 副法向量 B 定義為 T 和 N 的外積:
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由於 所以 N 與 T 垂直。 方程 (3) 說明 B 垂直於 T 和 N,因此向量 T,N,B 互相垂直。
弗勒內公式如下:
弗勒內公式有時也被稱作弗勒內定理,並且可以寫做矩陣的形式:[1]
其中的矩陣是反對稱矩陣。
對弧長s求導,可以看成是對切方向的協變導數。
參閱
[編輯]註釋
[編輯]- ^ Kühnel 2002,§1.9
參考資料
[編輯]- Crenshaw, H.C.; Edelstein-Keshet, L., Orientation by Helical Motion II. Changing the direction of the axis of motion, Bulletin of Mathematical Biology, 1993, 55 (1): 213–230
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- Frenet, F., Sur les courbes à double courbure (PDF), Thèse, Toulouse, 1847 [2010-03-01], (原始內容 (PDF)存檔於2011-07-16). Abstract in J. de Math. '17', 1852.
- Goriely, A.; Robertson-Tessi, M.; Tabor, M.; Vandiver, R., Elastic growth models, BIOMAT-2006 (PDF), Springer-Verlag, 2006, (原始內容 (PDF)存檔於2006-12-29).
- Griffiths, Phillip, On Cartan's method of Lie groups and moving frames as applied to uniqueness and existence questions in differential geometry, Duke Mathematics Journal, 1974, 41 (4): 775–814, doi:10.1215/S0012-7094-74-04180-5.
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- Iyer, B.R.; Vishveshwara, C.V., Frenet-Serret description of gyroscopic precession, Phys. Rev., D, 1993, 48 (12): 5706–5720
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- Kühnel, Wolfgang, Differential geometry, Student Mathematical Library 16, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2002, ISBN 978-0-8218-2656-0, MR1882174
- Serret, J. A., Sur quelques formules relatives à la théorie des courbes à double courbure (PDF), J. De Math., 1851, 16 [2010-03-01], (原始內容 (PDF)存檔於2022-03-15).
- Spivak, Michael, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (Volume Two), Publish or Perish, Inc., 1999.
- Sternberg, Shlomo, Lectures on Differential Geometry, Prentice-Hall, 1964
- Struik, Dirk J., Lectures on Classical Differential Geometry, Reading, Mass: Addison-Wesley, 1961.
外部連結
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