普朗托-邁耶擴張扇

普朗托－邁耶擴張扇

普朗托－邁耶擴張扇（英語：Prandtl–Meyer expansion fan）是指超音速流繞外凸轉角時所形成的擴張扇。擴張扇由無窮多條從尖銳轉角發散、角度逐漸偏轉的馬赫波組成。而當轉角為光滑圓角時，這一系列馬赫波則反向交匯於一點。物理上，繞凸角的超音速流不可能僅穿過一條「震波」，因為那樣會違背熱力學第二定律。當流動穿過擴張扇時，流速與馬赫數增加，靜壓、溫度與密度則減小。由於該過程為等熵過程，滯止性質則保持不變。

流動性質

擴張扇由無窮多條馬赫線組成，其中第一條馬赫線與入流方向的夾角為$\mu _{1}=\arcsin \left({\frac {1}{M_{1}}}\right)$，最後一條馬赫線與出流方向的夾角則為$\mu _{2}=\arcsin \left({\frac {1}{M_{2}}}\right)$。由於馬赫線之間的夾角很小、流動轉過的角度也很小，故整個過程為等熵過程。由此可以簡化流動性質的計算。對等熵過程而言，滯止壓強（$p_{0}$）、滯止溫度（$T_{0}$）、滯止密度（$\rho _{0}$）等滯止性質為常數，因而出流性質為出流馬赫數（$M_{2}$）與入流性質的函數：

${\begin{array}{lcl}{\cfrac {T_{2}}{T_{1}}}&=&{\bigg (}{\cfrac {1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{1}^{2}}{1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{2}^{2}}}{\bigg )}\\\\{\cfrac {p_{2}}{p_{1}}}&=&{\bigg (}{\cfrac {1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{1}^{2}}{1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{2}^{2}}}{\bigg )}^{\gamma /(\gamma -1)}\\\\{\cfrac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}&=&{\bigg (}{\cfrac {1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{1}^{2}}{1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{2}^{2}}}{\bigg )}^{1/(\gamma -1)}.\end{array}}$

出流馬赫數（$M_{2}$）與入流馬赫數（$M_{1}$）及轉角（$\theta$）之間的關係則為

$\theta =\nu (M_{2})-\nu (M_{1})\,$

其中$\nu (M)\,$為普朗托－邁耶函數。

參考文獻

• Liepmann, Hans W.; Roshko, A. Elements of Gasdynamics. Dover Publications. 2001 [1957]. ISBN 0-486-41963-0. 
• Anderson, John D. Jr. Fundamentals of Aerodynamics 3rd. McGraw-Hill Science/Engineering/Math. January 2001 [1984]. ISBN 0-07-237335-0. 
• Shapiro, Ascher H. The Dynamics and Thermodynamics of Compressible Fluid Flow, Volume 1. Ronald Press. 1953. ISBN 978-0-471-06691-0.