微分幾何中,曲率形式(curvature form)描述了主叢上的聯絡的曲率。它可以看作是黎曼幾何中的曲率張量的替代或是推廣。
令 G 為一個李群,記 G 的李代數為
。設
為一個主 G-叢。令
表示 E 上一個埃雷斯曼聯絡(它是一個E上的 g-值 1-形式)。
那麼曲率形式就是 E 上的 g-值 2-形式,定義為
![{\displaystyle \Omega =d\omega +{1 \over 2}[\omega ,\omega ]=D\omega .}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9587c7582e65b6c4a2db43fd6836aa57fa561e92)
這裏
表示標準外導數,
是李括號,而 D 表示外共變導數。或者說
![{\displaystyle \Omega (X,Y)=d\omega (X,Y)+[\omega (X),\omega (Y)].}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb9e6960b3ab68f28af51a504aba2d949bc2f70b)
若
是一個纖維叢,其結構群為 G,我們可以在相伴的主 G-叢上重複同樣的定義。
若
是一個向量叢則我們可以把
看作是 1-形式的矩陣,則上面的公式取如下形式:
![{\displaystyle \Omega =d\omega +\omega \wedge \omega ,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4973fd04aed9a7244483637b8cd280877b0bb4f6)
其中
是楔積。更準確地講,若
和
分別代表
和
的分量(所以每個
是一個通常的 1-形式而每個
是一個普通的2-形式),則
![{\displaystyle \Omega _{j}^{i}=d\omega _{j}^{i}+\sum _{k}\omega _{k}^{i}\wedge \omega _{j}^{k}.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b340e515f8703cb0f828565ff192c79721b7206)
例如,黎曼流形的切叢,我們有
作為結構群而
是在
中取值的 2-形式(給定標準正交基,可以視為反對稱矩陣)。在這種情況,
是曲率張量的一種替換表述,也就是在曲率張量的標準表示中,我們有
![{\displaystyle R(X,Y)Z=\Omega _{}^{}(X\wedge Y)Z.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1035c4958082fb642b4ed7527e6a700b43cdfb2)
上式使用了黎曼曲率張量標準記號。
如果
是標架叢上的典範向量值 1-形式,聯絡形式 ω 的撓率
是由結構方程定義的向量值 2-形式:
![{\displaystyle \Theta =d\theta +\omega \wedge \theta =D\theta ,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92f29d9ccd546faebb235ed747c21304460e540f)
這裏 D 代表外共變導數。
第一比安基恆等式(對於標架叢的有撓率聯絡)取以下形式
![{\displaystyle D\Theta =\Omega \wedge \theta ={1 \over 2}[\Omega ,\theta ]\ ,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47a10da79180ff3d6bb3d674727bf08397264dc5)
第二比安基恆等式對於一般有聯絡的叢成立,並有如下形式
![{\displaystyle D\Omega =0\ .}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/515649886521e140a66b0eb48cd0184079de151f)
- S.Kobayashi and K.Nomizu, "Foundations of Differential Geometry", Chapters 2 and 3, Vol.I, Wiley-Interscience.