- 本條目中,向量與純量分別用粗體與斜體顯示。例如,位置向量通常用
表示;而其大小則用
來表示。四維向量用加有標號的斜體顯示。例如,
或
。為了避免歧意,四維向量的斜體與標號之間不會有括號。例如,
表示
平方;而
是
的第二個分量。
波向量是波的向量表示方法。波向量是一個向量,其大小表示波數(
),其方向表示波傳播的方向。
波向量在狹義相對論背景下可定義為四維向量。
正弦波波長λ可以通過測量相位相同的任意相鄰兩點間的距離得到,這兩點可以是相鄰的波峰、波谷或是如圖所示的零交點。
當波行進時,給定點的值以正弦作正弦振動。
波向量有兩種常見的定義,區別在於振幅因子是否乘以
,兩種定義分別用於物理學和晶體學以及它們的相關領域。[1]
理想的一維行波遵循如下方程式:
![{\displaystyle \psi (x,t)=A\cos(kx-\omega t+\varphi )}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df0f38bc5f7ad4aff7dfd6b9d90741e1bda33b32)
其中:
- x為位置;
- t為時間;
(x和t的函數)是對波進行描述的擾動(例如對於海浪,
是超出水面的高度;對於聲波,
是超氣壓);
- A是波的振幅(振動的峰值);
是相位偏移,描述了兩個波互相之間不同步的程度;
是波的角頻率,描述了在一個給定點波振動的快慢程度;
是波數,與波長成反比,由
求出。
此波在+x方向上行進,相速度為
。
推廣到三維情況下,方程式為:
![{\displaystyle \psi \left({\mathbf {r} },t\right)=A\cos \left({\mathbf {k} }\cdot {\mathbf {r} }-\omega t+\varphi \right)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b4c1d86d03aa842b908535f724bee8ef673a13d)
其中:
- r是三維空間中的位置向量;
是向量點積;
- k是波向量。
這一方程式描述了平面波。一維情況下,波向量的大小是角波數
。波向量的方向是平面波行進的方向。
在晶體學中,描述相同的波的方程式略有不同。[2]在一維和三維情況下的方程式分別為:
![{\displaystyle \psi (x,t)=A\cos(2\pi (kx-\nu t)+\varphi )}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a37d958c2bbe4bb25b5756f4cfe5f0dc207c634)
。
不同點在於:
- 晶體學定義使用了頻率
,而不是角頻率
,由公式
,二者可以相互轉換。這種置換主要反映了在晶體學中的常見應用。
- 波數k以及波向量k的定義方式不同。此處的
,而在物理學定義中,
。
接近單色光的波包可以由波向量
![{\displaystyle k^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3d01f839411b50ca69255b57289eede0c2fb56a)
準確描述,若明確的改寫成共變和反變形式,則
且
。
於是波向量的大小為
![{\displaystyle ={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}-{\vec {k}}^{2}=0\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a6b9cac9dbfb2b76abc4f251b3244e7e7e0727b)
最後一步等於零是因為對於真空中的光滿足
![{\displaystyle k={\frac {\omega }{c}}\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8eb144e6299b797f54ac4ce1820d54b87cde91c)
對波向量作勞侖茲變換可導出相對論性都卜勒效應。勞侖茲矩陣定義為
。
在光被快速移動的波源激發的情況下,若要在地球坐標系(實驗室坐標系)中檢定光的頻率,就要使用勞侖茲變換,如下所示。注意波源位於坐標系S s,地球位於觀測系S obs。
對波向量進行勞侖茲變換得到
。
只考慮
分量的情況,得到
。
因此
|
當波源徑直地遠離觀測者時,
,方程式變為:
。
當波源徑直地接近觀測者時,
,方程式變為:
。
- Brau, Charles A. Modern Problems in Classical Electrodynamics. Oxford University Press. 2004. ISBN 0-19-514665-4.