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波向量

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本條目中,向量純量分別用粗體斜體顯示。例如,位置向量通常用 表示;而其大小則用 來表示。四維向量用加有標號的斜體顯示。例如,。為了避免歧意,四維向量的斜體與標號之間不會有括號。例如,表示平方;而的第二個分量。

波向量向量表示方法。波向量是一個向量,其大小表示波數),其方向表示波傳播的方向。

波向量在狹義相對論背景下可定義為四維向量

定義

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正弦波波長λ可以通過測量相位相同的任意相鄰兩點間的距離得到,這兩點可以是相鄰的波峰、波谷或是如圖所示的零交點英語Zero crossing
當波行進時,給定點的值以正弦作正弦振動。

波向量有兩種常見的定義,區別在於振幅因子是否乘以,兩種定義分別用於物理學晶體學以及它們的相關領域。[1]

物理學定義

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理想的一維行波遵循如下方程式:

其中:

  • x為位置;
  • t為時間;
  • xt的函數)是對波進行描述的擾動(例如對於海浪是超出水面的高度;對於聲波是超氣壓);
  • A是波的振幅(振動的峰值);
  • 是相位偏移,描述了兩個波互相之間不同步的程度;
  • 是波的角頻率,描述了在一個給定點波振動的快慢程度;
  • 波數,與波長成反比,由求出。

此波在+x方向上行進,相速度

推廣到三維情況下,方程式為:

其中:

  • r是三維空間中的位置向量;
  • 向量點積
  • k是波向量。

這一方程式描述了平面波。一維情況下,波向量的大小是角波數。波向量的方向是平面波行進的方向。

晶體學定義

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晶體學中,描述相同的波的方程式略有不同。[2]在一維和三維情況下的方程式分別為:

不同點在於:

  • 晶體學定義使用了頻率,而不是角頻率,由公式,二者可以相互轉換。這種置換主要反映了在晶體學中的常見應用。
  • 波數k以及波向量k的定義方式不同。此處的,而在物理學定義中,

狹義相對論

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接近單色光的波包可以由波向量

準確描述,若明確的改寫成共變和反變形式,則

於是波向量的大小為

最後一步等於零是因為對於真空中的光滿足

勞侖茲變換

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對波向量作勞侖茲變換可導出相對論性都卜勒效應。勞侖茲矩陣定義為

在光被快速移動的波源激發的情況下,若要在地球坐標系(實驗室坐標系)中檢定光的頻率,就要使用勞侖茲變換,如下所示。注意波源位於坐標系S s,地球位於觀測系S obs。 對波向量進行勞侖茲變換得到

只考慮分量的情況,得到

其中關於的方向餘弦

因此

波源遠離觀測者

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當波源徑直地遠離觀測者時,,方程式變為:

波源接近觀測者

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當波源徑直地接近觀測者時,,方程式變為:

參考文獻

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  • Brau, Charles A. Modern Problems in Classical Electrodynamics. Oxford University Press. 2004. ISBN 0-19-514665-4.