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皮亞諾曲線

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皮亞諾曲線的構建

皮亞諾曲線Peano curve)是一條能夠填滿正方形的曲線。

1890年,意大利數學家朱塞佩·皮亞諾發明能填滿一個正方形的曲線,叫做皮亞諾曲線,其構造方法如下:取一個正方形並且把它分出九個相等的小正方形,然後從左下角的正方形開始至右上角的正方形結束,依次把小正方形的中心用線段連接起來;下一步把每個小正方形分成九個相等的正方形,然後上述方式把其中中心連接起來……。將這種操作手續無限進行下去,最終得到的「極限情況的曲線」[註 1]就被稱作皮亞諾曲線。這樣的曲線會填滿整個一開始給定的正方形。

在傳統概念中,曲線的維度是1,正方形維度是2,且1維的曲線直覺上不能填滿2維的正方形。但是皮亞諾曲線正給出了反例。這說明我們對維數的認識是有缺陷的,有必要重新思考維數的定義。這就是分形幾何考慮的問題。在分形幾何中,維數可以是分數叫做分維。

此外,皮亞諾曲線是連續的但處處不可導的曲線。因此如果我們想要研究傳統意義上的曲線,就必須加上可導的條件,以便排除像皮亞諾曲線這樣的特例。

註釋

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  1. ^ 這裏的極限具有如下意義:對皮亞諾曲線構造的每個階段中的折線,我們可以以最自然的方式將其參數化成 , 使得 。而極限的曲線就是參數式為 的曲線。可以證明前述極限對每個 皆存在。

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