積分第一中值定理的內容為:
設
為一連續函數,
要求g(x)是可積函數且在積分區間不變號,那麼存在一點
使得
。
事實上,可以證明,上述的中值點
必能在開區間
內取得[1],見下方中值點在開區間內存在的證明。
因為
是閉區間上的連續函數,
取得最大值
和最小值
。於是
。
對不等式求積分,我們有
。
若
,則
。
可取
上任一點。
設
,那麼
。
因為
是連續函數,根據介值定理,必存在一點
,使得
。
已知
在
上連續,設
。
知
在
上連續,在
內可導,應用拉格朗日中值定理,可得:
,其中![{\displaystyle \xi \in (a,b)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5abeddc918baa404afdae198bfa6feea783f7e6e)
即
![{\displaystyle {\dfrac {\int _{a}^{b}f(t)\,dt-\int _{a}^{a}f(t)\,dt}{b-a}}=f(\xi )}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca50b37e3d646c28aeb97e182cc098f057ac694c)
所以
。
- ^ 華東師範大學數學系. 数学分析 上册 第三版. 高等教育出版社. 2006: 第219頁.
由微積分基本性質,當被積函數在[a,b]上連續時,原函數在[a,b]上是可導的,而拉格朗日定理的假設是「f(x)在(a,b)內可導"
所以原文中「知F(x)在[a,b]上連續,在[a,b]內可導,應用拉格朗日中值定理,可得:」應該改為
「知F(x)在[a,b]上連續,在(a,b)內可導,應用拉格朗日中值定理,可得:」
否則無法排除ξ只取在a或者b上的可能
此說法並不嚴密。現根據以上對原定理的證明,來解釋為什麼
可以改為
。
因為
在
上連續,所以
在
上有最大值
和最小值
。設
,
,
,![{\displaystyle x_{2}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7af1b928f06e4c7e3e8ebfd60704656719bd766)
,如果
,則
是常值函數,任取
即可。如果
,由於函數
連續且有一點
使
,所以由積分性質有
,即
![{\displaystyle M(b-a)>\int _{a}^{b}f(x)\,dx}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0362c4f47a2967f1cd613c5abaa3396787674ac2)
同理可得
,故有
![{\displaystyle m<{\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx<M}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8921579c8b2726060e2caba186369feebd4ffda8)
由連續函數的介值定理,至少存在一點
⊂
(或
⊂
),使得
,即
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=f(\xi )(b-a)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/971a77580618a659543518ce04bfad99bb806c25)
註:以上內容參考延邊大學出版社《數學分析輔導及習題精解 華東師大.第四版 上冊》