輸入-狀態穩定性 (Input-to-state stability)簡稱ISS[ 1] [ 2] ,是在有外部輸入時,非線性 的控制理論 中探討其穩定性的方式。簡單來說,控制系統具有輸入-狀態穩定性也就是指在沒有外在輸入時,系統會漸近穩定,而且在足夠長的時間後,系統軌跡會限制在和輸入大小有關的函數中。
輸入-狀態穩定性之所以重要,是因為此概念連接了輸入-輸出穩定性以及狀態空間法 ,這二個都是控制系統研究者常常使用的工具。輸入-狀態穩定性的標示方式是由Eduardo Sontag 在1989年開始使用[ 3] 。
考慮非時變常微分方程 ,其形式如下
x
˙
=
f
(
x
,
u
)
,
x
(
t
)
∈
R
n
,
{\displaystyle {\dot {x}}=f(x,u),\ x(t)\in \mathbb {R} ^{n},}
1
其中
u
:
R
+
→
R
m
{\displaystyle u:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ^{m}}
是勒貝格測度 有本質確界 的外部輸入,且
f
{\displaystyle f}
是利普希茨連續 函數。這可以確保系統(1 )有唯一絕對連續 的解。
若要定義ISS以及其他相關的性質,需要引入以下的比較函數 分類。令
K
{\displaystyle {\mathcal {K}}}
(K類函數 )為連續遞增函數
γ
:
R
+
→
R
+
{\displaystyle \gamma :\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} _{+}}
,且
γ
(
0
)
=
0
{\displaystyle \gamma (0)=0}
形成的集合,令
K
∞
{\displaystyle {\mathcal {K}}_{\infty }}
為無界函數
γ
∈
K
{\displaystyle \gamma \in {\mathcal {K}}}
,再令
β
∈
K
L
{\displaystyle \beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}}
(KL類函數 )為若
β
(
⋅
,
t
)
∈
K
{\displaystyle \beta (\cdot ,t)\in {\mathcal {K}}}
在所有的
t
≥
0
{\displaystyle t\geq 0}
都成立,而且針對所有的
r
>
0
{\displaystyle r>0}
,
β
(
r
,
⋅
)
{\displaystyle \beta (r,\cdot )}
連續,且嚴格遞減至0。
系統(1 )稱為在原點全域漸近穩定 (0-GAS),若對應的零輸入系統
x
˙
=
f
(
x
,
0
)
,
x
(
t
)
∈
R
n
,
{\displaystyle {\dot {x}}=f(x,0),\ x(t)\in \mathbb {R} ^{n},}
WithoutInputs
是全域李雅普諾夫穩定 ,也就是存在
β
∈
K
L
{\displaystyle \beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}}
使得針對所有的初值
x
0
{\displaystyle x_{0}}
以及任意時間
t
≥
0
{\displaystyle t\geq 0}
,以下有關(WithoutInputs )解的估計都有效>:
|
x
(
t
)
|
≤
β
(
|
x
0
|
,
t
)
.
{\displaystyle |x(t)|\leq \beta (|x_{0}|,t).}
GAS-Estimate
系統(1 )稱為輸入-狀態穩定性 (ISS)若存在函數
γ
∈
K
{\displaystyle \gamma \in {\mathcal {K}}}
且
β
∈
K
L
{\displaystyle \beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}}
使得針對所有初值
x
0
{\displaystyle x_{0}}
,所有可行的輸入
u
{\displaystyle u}
以及任意時間
t
≥
0
{\displaystyle t\geq 0}
,以下的不等式都成立
|
x
(
t
)
|
≤
β
(
|
x
0
|
,
t
)
+
γ
(
‖
u
‖
∞
)
.
{\displaystyle |x(t)|\leq \beta (|x_{0}|,t)+\gamma (\|u\|_{\infty }).}
2
上述不等式中的函數
γ
{\displaystyle \gamma }
稱為增益 (gain)。
很明顯的,ISS系統是0-GAS系統,也有有界輸入有界輸出穩定性 (若令輸出等於狀態),不過0-GAS系統不一定是ISS系統。
也可以證明若在
t
→
∞
{\displaystyle t\to \infty }
時,
|
u
(
t
)
|
→
0
{\displaystyle |u(t)|\to 0}
,則在
t
→
∞
{\displaystyle t\to \infty }
時,
|
x
(
t
)
|
→
0
{\displaystyle |x(t)|\to 0}
。
為了要瞭解輸入-狀態穩定性,需要用其他的穩定性術語來重新說明。
系統(1 )為全域穩定(GS) ,若存在
γ
,
σ
∈
K
{\displaystyle \gamma ,\sigma \in {\mathcal {K}}}
,使得對於
∀
u
{\displaystyle \forall u}
、
∀
t
≥
0
{\displaystyle \forall t\geq 0}
及
∀
x
0
{\displaystyle \forall x_{0}}
,下式都成立
|
x
(
t
)
|
≤
σ
(
|
x
0
|
)
+
γ
(
‖
u
‖
∞
)
.
{\displaystyle |x(t)|\leq \sigma (|x_{0}|)+\gamma (\|u\|_{\infty }).}
GS
系統(1 )滿足漸近增益(AG)特性 ,若存在
γ
∈
K
{\displaystyle \gamma \in {\mathcal {K}}}
,使得對於
∀
x
0
{\displaystyle \forall x_{0}}
,
∀
u
{\displaystyle \forall u}
,下式都成立
lim sup
t
→
∞
|
x
(
t
)
|
≤
γ
(
‖
u
‖
∞
)
.
{\displaystyle \limsup _{t\to \infty }|x(t)|\leq \gamma (\|u\|_{\infty }).}
AG
以下的描述都是等效的
[ 4] :
(1 )有ISS(輸入-狀態穩定性)
(1 )是GS(全域穩定),且有AG(漸近增益)特性
(1 )是0-GAS(在原點全域漸近穩定),且有AG(漸近增益)特性
在論文中可以找到以上論述的證明,以及許多輸入-狀態穩定性的特性[ 4] [ 5] 。
ISS-李亞普諾夫函數是驗證輸入-狀態穩定性時的重要工具。
光滑函數
V
:
R
n
→
R
+
{\displaystyle V:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} _{+}}
是系統(1 )的ISS-李亞普諾夫函數,若
∃
ψ
1
,
ψ
2
∈
K
∞
{\displaystyle \exists \psi _{1},\psi _{2}\in {\mathcal {K}}_{\infty }}
,
χ
∈
K
{\displaystyle \chi \in {\mathcal {K}}}
,以及正定函數
α
{\displaystyle \alpha }
,使得下式成立:
ψ
1
(
|
x
|
)
≤
V
(
x
)
≤
ψ
2
(
|
x
|
)
,
∀
x
∈
R
n
{\displaystyle \psi _{1}(|x|)\leq V(x)\leq \psi _{2}(|x|),\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{n}}
以及
∀
x
∈
R
n
,
∀
u
∈
R
m
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ^{n},\;\forall u\in \mathbb {R} ^{m}}
,下式成立:
|
x
|
≥
χ
(
|
u
|
)
⇒
∇
V
⋅
f
(
x
,
u
)
≤
−
α
(
|
x
|
)
,
{\displaystyle |x|\geq \chi (|u|)\ \Rightarrow \ \nabla V\cdot f(x,u)\leq -\alpha (|x|),}
函數
χ
{\displaystyle \chi }
稱為李亞普諾夫增益 (Lyapunov gain)。
若系統(1 )沒有輸入(也就是
u
≡
0
{\displaystyle u\equiv 0}
),則最後一式可以簡化如下
∇
V
⋅
f
(
x
,
u
)
≤
−
α
(
|
x
|
)
,
∀
x
≠
0
,
{\displaystyle \nabla V\cdot f(x,u)\leq -\alpha (|x|),\ \forall x\neq 0,}
因此
V
{\displaystyle V}
也是(一般定義的)李亞普諾夫函數 。
E. Sontag和Y. Wang得到的重要結論是系統(1 )為ISS,若且唯若存在光滑ISS李亞普諾夫函數[ 5] 。
考慮一系統
x
˙
=
−
x
3
+
u
x
2
.
{\displaystyle {\dot {x}}=-x^{3}+ux^{2}.}
定義候選的ISS-李亞普諾夫函數
V
:
R
→
R
+
{\displaystyle V:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}}
如下
V
(
x
)
=
1
2
x
2
,
∀
x
∈
R
.
{\displaystyle V(x)={\frac {1}{2}}x^{2},\quad \forall x\in \mathbb {R} .}
V
˙
(
x
)
=
∇
V
⋅
(
−
x
3
+
u
x
2
)
=
−
x
4
+
u
x
3
.
{\displaystyle {\dot {V}}(x)=\nabla V\cdot (-x^{3}+ux^{2})=-x^{4}+ux^{3}.}
選擇李亞普諾夫增益
χ
{\displaystyle \chi }
為
χ
(
r
)
:=
1
1
−
ϵ
r
{\displaystyle \chi (r):={\frac {1}{1-\epsilon }}r}
.
可以得到在
x
,
u
:
|
x
|
≥
χ
(
|
u
|
)
{\displaystyle x,u:\ |x|\geq \chi (|u|)}
的條件下,下式成立
V
˙
(
x
)
≤
−
|
x
|
4
+
(
1
−
ϵ
)
|
x
|
4
=
−
ϵ
|
x
|
4
.
{\displaystyle {\dot {V}}(x)\leq -|x|^{4}+(1-\epsilon )|x|^{4}=-\epsilon |x|^{4}.}
可得
V
{\displaystyle V}
是該系統的ISS-李亞普諾夫函數,李亞普諾夫增益為
χ
{\displaystyle \chi }
。
系統(1 )為積分輸入-狀態穩定性(integral input-to-state stable,iISS)若存在函數
α
,
γ
∈
K
{\displaystyle \alpha ,\gamma \in {\mathcal {K}}}
及
β
∈
K
L
{\displaystyle \beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}}
,使得針對所有初值
x
0
{\displaystyle x_{0}}
,所有可行的輸入
u
{\displaystyle u}
及任意時間
t
≥
0
{\displaystyle t\geq 0}
下,以下不等式都會成立:
α
(
|
x
(
t
)
|
)
≤
β
(
|
x
0
|
,
t
)
+
∫
0
t
γ
(
|
u
(
s
)
|
)
d
s
.
{\displaystyle \alpha (|x(t)|)\leq \beta (|x_{0}|,t)+\int _{0}^{t}\gamma (|u(s)|)ds.}
3
積分輸入-狀態穩定性(iISS)系統和ISS系統不同,若系統是iISS系統,在有界輸入下其軌跡仍可能會成長到無限大。例如,在所有
r
≥
0
{\displaystyle r\geq 0}
,令
α
(
r
)
=
γ
(
r
)
=
r
{\displaystyle \alpha (r)=\gamma (r)=r}
,且令
u
≡
c
=
c
o
n
s
t
{\displaystyle u\equiv c=const}
,則估計(3 )會變成以下的形式
|
x
(
t
)
|
≤
β
(
|
x
0
|
,
t
)
+
∫
0
t
c
d
s
=
β
(
|
x
0
|
,
t
)
+
c
t
,
{\displaystyle |x(t)|\leq \beta (|x_{0}|,t)+\int _{0}^{t}cds=\beta (|x_{0}|,t)+ct,}
隨着
t
→
∞
{\displaystyle t\to \infty }
,等號右側會趨近無限大
t
→
∞
{\displaystyle t\to \infty }
。
局部輸入-狀態穩定性也是一種輸入-狀態穩定性的特性。系統(1 )為局部輸入-狀態穩定性 (locally ISS、LISS)若存在常數
ρ
>
0
{\displaystyle \rho >0}
、函數
γ
∈
K
{\displaystyle \gamma \in {\mathcal {K}}}
及
β
∈
K
L
{\displaystyle \beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}}
使得:針對所有
x
0
∈
R
n
:
|
x
0
|
≤
ρ
{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}:\;|x_{0}|\leq \rho }
,所有可行的輸入
u
:
‖
u
‖
∞
≤
ρ
{\displaystyle u:\|u\|_{\infty }\leq \rho }
及任意時間
t
≥
0
{\displaystyle t\geq 0}
,下式都成立
|
x
(
t
)
|
≤
β
(
|
x
0
|
,
t
)
+
γ
(
‖
u
‖
∞
)
.
{\displaystyle |x(t)|\leq \beta (|x_{0}|,t)+\gamma (\|u\|_{\infty }).}
4
可以觀察到0-GAS系統會有LISS系統的特性[ 6] 。
也有其他人提出和輸入-狀態穩定性有關的穩定性特性,例如增量輸入-狀態穩定性(incremental ISS)、輸入至輸出動態穩定性(input-to-state dynamical stability、ISDS)[ 7] 、輸入至輸出實務穩定性(input-to-state practical stability、ISpS)、輸入至輸出穩定性(input-to-output stability、IOS)[ 8] 等。
考慮非時變的時滯微分方程
x
˙
(
t
)
=
f
(
x
t
,
u
(
t
)
)
,
t
>
0.
{\displaystyle {\dot {x}}(t)=f(x^{t},u(t)),\quad t>0.}
TDS
其中
x
t
∈
C
(
[
−
θ
,
0
]
;
R
N
)
{\displaystyle x^{t}\in C([-\theta ,0];\mathbb {R} ^{N})}
是系統(TDS )在時間
t
{\displaystyle t}
的狀態,
x
t
(
τ
)
=
x
(
t
+
τ
)
,
τ
∈
[
−
θ
,
0
]
{\displaystyle x^{t}(\tau )=x(t+\tau ),\ \tau \in [-\theta ,0]}
及
f
:
C
(
[
−
θ
,
0
]
;
R
N
)
×
R
m
{\displaystyle f:C([-\theta ,0];\mathbb {R} ^{N})\times \mathbb {R} ^{m}}
需滿足特定假設,以確保系統(TDS )的解存在且唯一。
系統(TDS )為ISS,若且唯若存在函數
β
∈
K
L
{\displaystyle \beta \in {\mathcal {KL}}}
及
γ
∈
K
{\displaystyle \gamma \in {\mathcal {K}}}
,使得針對所有
ξ
∈
C
(
[
−
θ
,
0
]
,
R
N
)
{\displaystyle \xi \in C(\left[-\theta ,0\right],\mathbb {R} ^{N})}
,所有可行的輸入,在任意時間
t
∈
R
+
{\displaystyle t\in \mathbb {R} _{+}}
下,下式都成立
|
x
(
t
)
|
≤
β
(
‖
ξ
‖
[
−
θ
,
0
]
,
t
)
+
γ
(
‖
u
‖
∞
)
.
{\displaystyle \left|x(t)\right|\leq \beta (\left\|\xi \right\|_{\left[-\theta ,0\right]},t)+\gamma (\left\|u\right\|_{\infty }).}
ISS-TDS
在時滯系統的ISS理論中,提出了二個不同的李亞普諾夫型的充份條件:透過ISS Lyapunov-Razumikhin函數[ 9] 及ISS Lyapunov-Krasovskii泛函[ 10] 。有些論文有提到有關時滯系統的逆李亞普諾夫定理[ 11] 。
以非時變常微分方程為基礎的輸入-狀態穩定性是已有相當發展的理論。也有研究者將此理論應用在其他的系統中,例如時變系統 [ 12] 、混合系統 [ 13] [ 14] 。近來也有人提出,將輸入-狀態穩定性的一些概念擴展到無限維系統的想法[ 15] [ 16] [ 1] [ 17] 。
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