此條目頁的主題是代數概念。關於幾何定理,請見「
圓冪定理 」。
b n 記號
底數
b
{\displaystyle b}
與 指數
n
{\displaystyle n}
在數學 中,重複連乘的運算叫做乘方 ,乘方的結果稱為 冪 [ 1] (英語:mathematical power ,power);由此,若
n
{\displaystyle n}
為正整數 ,
n
{\displaystyle n}
個相同的數
b
{\displaystyle b}
連續相乘(即
b
{\displaystyle b}
自乘
n
{\displaystyle n}
次),就可將
b
n
{\displaystyle b^{n}}
看作乘方的結果 ——「冪」。
b
n
=
b
×
⋯
×
b
⏟
n
{\displaystyle b^{n}=\underbrace {b\times \cdots \times b} _{n}}
冪運算 (exponentiation )又稱指數運算 、取冪 [ 2] ,是數學 運算 ,表達式 為
b
n
{\displaystyle b^{n}}
,讀作「
b
{\displaystyle b}
的
n
{\displaystyle n}
次方」或「
b
{\displaystyle b}
的
n
{\displaystyle n}
次冪」。其中,
b
{\displaystyle b}
稱為底數 ,而
n
{\displaystyle n}
稱為指數 ,通常指數寫成上標 ,放在底數的右邊 。在純文字格式等不能用上標的情況,例如在編程語言 或電子郵件 中,
b
n
{\displaystyle b^{n}}
通常寫成 b^n 或 b**n ;也可視為超運算 ,記為 b[3]n ;亦可以用高德納箭號表示法 ,寫成 b↑n 。
當指數為 1 時,通常不寫出來,因為運算出的值和底數的數值 一樣;指數為 2 時,可以讀作「
b
{\displaystyle b}
的平方 」;指數為 3 時,可以讀作「
b
{\displaystyle b}
的立方 」。
由於在十進制 中,十的冪 很容易計算,只需在後面加零即可,所以科學記數法 藉此簡化 記錄 的數字;二的冪 則在計算機科學 中相當重要。
起始值 1(乘法的單位元素 )乘上底數(
b
{\displaystyle b}
)自乘指數(
n
{\displaystyle n}
)這麼多次 [需要解釋 ] 。這樣定義 了後,很易想到如何一般化指數 0 和負數的情況:指數是零時,底數不為零,冪均為一(即除 0 外,所有數的 0 次方都是 1 );指數是負數時,就等於重複除以 底數(或底數的倒數 自乘指數這麼多次),即:
b
0
=
1
(
b
≠
0
)
{\displaystyle b^{0}=1\qquad (b\neq 0)}
b
−
n
=
1
b
×
⋯
×
b
⏟
n
=
1
b
n
=
(
1
b
)
n
(
b
≠
0
)
{\displaystyle b^{-n}={1 \over \underbrace {b\times \cdots \times b} _{n}}={\frac {1}{b^{n}}}=\left({\frac {1}{b}}\right)^{n}\qquad (b\neq 0)}
。
若以分數 為指數的冪,則定義:
b
n
m
=
b
n
m
{\displaystyle b^{\frac {n}{m}}={\sqrt[{m}]{b^{n}}}}
,
即
b
{\displaystyle b}
的
n
{\displaystyle n}
次方再開
m
{\displaystyle m}
次方根 。
0的0次方 (
0
0
{\displaystyle 0^{0}}
)目前沒有數學家 給予正式的定義;在部分數學領域 中,如組合數學 ,常用的慣例是定義為 1 。
此外,當
n
{\displaystyle n}
是複數 ,且
b
{\displaystyle b}
是正實數 時,
b
n
=
exp
(
n
ln
(
b
)
)
{\displaystyle b^{n}=\exp(n\ln(b))}
exp 是指數函數 ,而 ln 是自然對數 。
a
m
×
a
n
=
a
m
+
n
{\displaystyle a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}}
a
m
÷
a
n
=
a
m
−
n
{\displaystyle a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}}
同指數冪相除,指數不變,底數相除(
b
{\displaystyle b}
不為0):
a
n
b
n
=
(
a
b
)
n
{\displaystyle {\frac {a^{n}}{b^{n}}}=\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}}
x
m
n
=
x
m
n
{\displaystyle x^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{x^{m}}}}
x
−
m
=
1
x
m
(
x
≠
0
)
{\displaystyle x^{-m}={\frac {1}{x^{m}}}\qquad (x\neq 0)}
x
0
=
1
(
x
≠
0
)
{\displaystyle x^{0}=1\qquad (x\neq 0)}
x
1
=
x
{\displaystyle x^{1}=x\,\!}
x
−
1
=
1
x
(
x
≠
0
)
{\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}\qquad (x\neq 0)}
加法和乘法存在交換律 ,比如:
2
+
3
=
5
=
3
+
2
{\displaystyle 2+3=5=3+2}
,
2
×
3
=
6
=
3
×
2
{\displaystyle 2\times 3=6=3\times 2}
,但是冪的運算不存在交換律,
2
3
=
8
{\displaystyle 2^{3}=8}
,但是
3
2
=
9
{\displaystyle 3^{2}=9}
。
同樣,加法和乘法存在結合律 ,比如:
(
2
+
3
)
+
4
=
9
=
2
+
(
3
+
4
)
{\displaystyle (2+3)+4=9=2+(3+4)}
,
(
2
×
3
)
×
4
=
24
=
2
×
(
3
×
4
)
{\displaystyle (2\times 3)\times 4=24=2\times (3\times 4)}
。不過,冪運算沒有結合律:
(
2
3
)
4
=
8
4
=
4096
{\displaystyle (2^{3})^{4}=8^{4}=4096}
,而
2
(
3
4
)
=
2
81
=
2
,
417
,
851
,
639
,
229
,
258
,
349
,
412
,
352
{\displaystyle 2^{(3^{4})}=2^{81}=2,417,851,639,229,258,349,412,352}
,所以
(
2
3
)
4
≠
2
(
3
4
)
{\displaystyle (2^{3})^{4}\neq 2^{(3^{4})}}
。
但是冪運算仍然有其運算律,稱為指數律 :
a
m
⋅
a
n
=
a
m
+
n
{\displaystyle a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}}
a
m
a
n
=
a
m
−
n
{\displaystyle {\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}}
(
a
m
)
n
=
a
m
n
{\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{mn}}
a
m
n
=
a
m
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}}}=a^{\frac {m}{n}}}
a
n
⋅
b
n
=
(
a
⋅
b
)
n
{\displaystyle a^{n}\cdot b^{n}=(a\cdot b)^{n}}
a
n
b
n
=
(
a
b
)
n
{\displaystyle {\frac {a^{n}}{b^{n}}}=\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}}
整數指數冪的運算只需要初等代數 的知識。
表達式
a
2
=
a
⋅
a
{\displaystyle a^{2}=a\cdot a}
被稱作
a
{\displaystyle a}
的平方 ,因為邊長為
a
{\displaystyle a}
的正方形面積是
a
2
{\displaystyle a^{2}}
。
表達式
a
3
=
a
⋅
a
⋅
a
{\displaystyle a^{3}=a\cdot a\cdot a}
被稱作
a
{\displaystyle a}
的立方 ,因為邊長為
a
{\displaystyle a}
的正方體體積是
a
3
{\displaystyle a^{3}}
。
所以
3
2
{\displaystyle 3^{2}}
讀作「3的平方」,
2
3
{\displaystyle 2^{3}}
讀作「2的立方」。
指數表示的是底數反覆相乘多少次。比如
3
5
=
3
×
3
×
3
×
3
×
3
=
243
{\displaystyle 3^{5}=3\times 3\times 3\times 3\times 3=243}
,指數是5,底數是3,表示3反覆相乘5次。
或者,整數指數冪可以遞歸 地定義成:
a
n
=
{
1
(
n
=
0
)
a
⋅
a
n
−
1
(
n
>
0
)
(
1
a
)
−
n
(
n
<
0
)
{\displaystyle a^{n}={\begin{cases}1&(n=0)\\a\cdot a^{n-1}&(n>0)\\\left({\frac {1}{a}}\right)^{-n}&(n<0)\end{cases}}}
注意
3
1
{\displaystyle 3^{1}}
表示僅僅1個3的乘積,就等於3。
注意
3
5
=
3
×
3
4
{\displaystyle 3^{5}=3\times 3^{4}}
,
3
4
=
3
×
3
3
{\displaystyle 3^{4}=3\times 3^{3}}
,
3
3
=
3
×
3
2
{\displaystyle 3^{3}=3\times 3^{2}}
,
3
2
=
3
×
3
1
{\displaystyle 3^{2}=3\times 3^{1}}
,
繼續,得到
3
1
=
3
×
3
0
=
3
{\displaystyle 3^{1}=3\times 3^{0}=3}
,所以
3
0
=
1
{\displaystyle 3^{0}=1}
另一個得到此結論的方法是:通過運算法則
x
n
x
m
=
x
n
−
m
{\displaystyle {\frac {x^{n}}{x^{m}}}=x^{n-m}}
當
m
=
n
{\displaystyle m=n}
時,
1
=
x
n
x
n
=
x
n
−
n
=
x
0
{\displaystyle 1={\frac {x^{n}}{x^{n}}}=x^{n-n}=x^{0}}
0
0
{\displaystyle 0^{0}}
其實還並未被數學家完整的定義,但部分看法是
0
0
=
1
{\displaystyle 0^{0}=1}
,在程式語言中(python)
0
∗
∗
0
=
1
{\displaystyle 0**0=1}
在這裏給出這一種極限的看法
lim
x
→
0
+
x
x
=
0
0
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=0^{0}}
於是,可以求出 x 取值從 1 到 0.0000001 計算得到的值,如圖
我們定義任何不為 0 的數 a 的 -1 次方等於它的倒數。
a
−
1
=
1
a
{\displaystyle a^{-1}={\frac {1}{a}}}
對於非零
a
{\displaystyle a}
定義
a
−
n
=
1
a
n
{\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}}
,
而
a
=
0
{\displaystyle a=0}
時分母為 0 沒有意義。
證法一:
根據定義
a
m
⋅
a
n
=
a
m
+
n
{\displaystyle a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}}
,當
m
=
−
n
{\displaystyle m=-n}
時
a
−
n
a
n
=
a
−
n
+
n
=
a
0
=
1
,
{\displaystyle a^{-n}\,a^{n}=a^{-n\,+\,n}=a^{0}=1,}
得
a
−
n
a
n
=
1
{\displaystyle a^{-n}\,a^{n}=1}
, 所以
a
−
n
=
1
a
n
{\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}}
。
證法二:
通過運算法則
a
m
a
n
=
a
m
−
n
{\displaystyle {\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}}
當
m
=
0
{\displaystyle m=0}
時,可得
a
−
n
=
a
0
−
n
=
a
0
a
n
=
1
a
n
{\displaystyle a^{-n}=a^{0-n}={\frac {a^{0}}{a^{n}}}={\frac {1}{a^{n}}}}
負數指數
a
−
n
{\displaystyle a^{-n}}
還可以表示成1 連續除以
n
{\displaystyle n}
個
a
{\displaystyle a}
。比如:
3
−
4
=
1
3
3
3
3
=
1
81
=
1
3
4
{\displaystyle 3^{-4}={\frac {\frac {\frac {\frac {1}{3}}{3}}{3}}{3}}={\frac {1}{81}}={\frac {1}{3^{4}}}}
.
在十進制 的計數系統中,10的冪寫成1後面跟着很多個0。例如:
10
3
=
1000
,
10
−
3
=
0.001
{\displaystyle 10^{3}=1000,\ 10^{-3}=0.001}
因此10的冪用來表示非常大或者非常小的數字。如:299,792,458(真空中光速 ,單位是米每秒 ),可以寫成
2.99792458
×
10
8
{\displaystyle 2.99792458\times 10^{8}}
,近似值
2.998
×
10
8
{\displaystyle 2.998\times 10^{8}}
或
3
×
10
8
{\displaystyle 3\times 10^{8}}
國際單位制詞頭 也使用10的冪來描述特別大或者特別小的數字,比如:詞頭「千」就是
10
3
{\displaystyle 10^{3}}
,詞頭「毫」就是
10
−
3
{\displaystyle 10^{-3}}
1的任何次冪都為1。
0的正數冪都等於0。
0的負數冪沒有定義。
任何非0之數的0次方都是1;而0的0次方 是懸而未決的,某些領域下常用的慣例是約定為1。[ 3] 但某些教科書表示0的0次方為無意義。[ 4] 也有人主張定義為1。
-1的奇數冪等於-1
-1的偶數冪等於1
一個大於1的數的冪趨於無窮大 ,一個小於-1的數的冪趨於負無窮大
當
a
>
1
{\displaystyle a>1}
,
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
,
a
n
→
∞
{\displaystyle a^{n}\to \infty }
當
a
<
−
1
{\displaystyle a<-1}
,
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
,
a
n
→
−
∞
{\displaystyle a^{n}\to -\infty }
或
∞
{\displaystyle \infty }
, (視乎n 是奇數或偶數)
一個絕對值小於1的數的冪趨於0
當
|
a
|
<
1
{\displaystyle |a|<1}
,
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
,
a
n
→
0
{\displaystyle a^{n}\to 0}
1的冪永遠都是1
當
a
=
1
{\displaystyle a=1}
,
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
,
a
n
→
1
{\displaystyle a^{n}\to 1}
如果數a 趨於1而它的冪趨於無窮,那麼極限並不一定是上面幾個。一個很重要的例子是:
當
n
→
∞
,
(
1
+
1
n
)
n
→
e
{\displaystyle n\to \infty ,\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\to e}
參見e的冪
其他指數的極限參見冪的極限
一個正實數的實數 冪可以通過兩種方法實現。
有理數 冪可以通過N次方根 定義,任何非0實數次冪都可以這樣定義
自然對數 可以被用來通過指數函數定義實數冪
從上到下:
x
1
8
,
x
1
4
,
x
1
2
,
x
1
,
x
2
,
x
4
,
x
8
{\displaystyle x^{\frac {1}{8}},\ x^{\frac {1}{4}},\ x^{\frac {1}{2}},\ x^{1},\ x^{2},\ x^{4},\ x^{8}}
一個數
a
{\displaystyle a}
的
n
{\displaystyle n}
次方根是
x
{\displaystyle x}
,
x
{\displaystyle x}
使
x
n
=
a
{\displaystyle x^{n}=a}
。
如果
a
{\displaystyle a}
是一個正實數,
n
{\displaystyle n}
是正整數,那麼方程
x
n
=
a
{\displaystyle x^{n}=a}
只有一個正實數根 。
這個根被稱為
a
{\displaystyle a}
的
n
{\displaystyle n}
次方根,記作:
a
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}
,其中
{\displaystyle {\sqrt {\ }}}
叫做根號。或者,
a
{\displaystyle a}
的
n
{\displaystyle n}
次方根也可以寫成
a
1
n
{\displaystyle a^{\frac {1}{n}}}
.
例如
4
1
2
=
2
,
8
1
3
=
2
{\displaystyle 4^{\frac {1}{2}}=2,\ 8^{\frac {1}{3}}=2}
當指數是
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
時根號上的2可以省略,如:
4
=
4
1
2
=
4
2
=
2
{\displaystyle {\sqrt {4}}=4^{\frac {1}{2}}={\sqrt[{2}]{4}}=2}
有理數指數冪定義為
a
m
n
=
(
a
m
)
1
n
=
a
m
n
{\displaystyle a^{\frac {m}{n}}=(a^{m})^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}
這個重要的數學常數e ,有時叫做歐拉數 ,近似2.718,是自然對數 的底。它提供了定義非整數指數冪的一個方法。
它是從以下極限定義的:
e
=
lim
n
→
∞
(
1
+
1
n
)
n
{\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}
指數函數 的定義是:
e
x
=
lim
n
→
∞
(
1
+
x
n
)
n
{\displaystyle e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}
可以很簡單地證明e 的正整數k 次方
e
k
{\displaystyle e^{k}}
是:
e
k
=
[
lim
n
→
∞
(
1
+
1
n
)
n
]
k
{\displaystyle e^{k}=\left[\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]^{k}}
=
lim
n
→
∞
(
1
+
k
n
⋅
k
)
n
⋅
k
{\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {k}{n\cdot k}}\right)^{n\cdot k}}
=
lim
n
⋅
k
→
∞
(
1
+
k
n
⋅
k
)
n
⋅
k
{\displaystyle =\lim _{n\cdot k\to \infty }\left(1+{\frac {k}{n\cdot k}}\right)^{n\cdot k}}
=
lim
m
→
∞
(
1
+
k
m
)
m
{\displaystyle =\lim _{m\to \infty }\left(1+{\frac {k}{m}}\right)^{m}}
y = bx 對各種底數b的圖像,分別為綠色的10、紅色的e、藍色的2和青色的1/2。
因為所有實數 可以近似地表示為有理數,任意實數指數x 可以定義成[ 5] :
b
x
=
lim
r
→
x
b
r
,
{\displaystyle b^{x}=\lim _{r\to x}b^{r},}
例如:
x
≈
1.732
{\displaystyle x\approx 1.732}
於是
5
x
≈
5
1.732
=
5
433
250
=
5
433
250
≈
16.241
{\displaystyle 5^{x}\approx 5^{1.732}=5^{\frac {433}{250}}={\sqrt[{250}]{5^{433}}}\approx 16.241}
實數指數冪通常使用對數來定義,而不是近似有理數。
自然對數
ln
x
{\displaystyle \ln {x}}
是指數函數
e
x
{\displaystyle e^{x}}
的反函數 。
它的定義是:對於任意
b
>
0
{\displaystyle b>0}
,滿足
b
=
e
ln
b
{\displaystyle b=e^{\ln b}}
根據對數和指數運算的規則:
b
x
=
(
e
ln
b
)
x
=
e
x
⋅
ln
b
{\displaystyle b^{x}=(e^{\ln b})^{x}=e^{x\cdot \ln b}}
這就是實數指數冪的定義:
b
x
=
e
x
⋅
ln
b
{\displaystyle b^{x}=e^{x\cdot \ln b}\,}
實數指數冪
b
x
{\displaystyle b^{x}}
的這個定義和上面使用有理數指數和連續性的定義相吻合。對於複數,這種定義更加常用。
如果
a
{\displaystyle a}
是負數且
n
{\displaystyle n}
是偶數 ,那麼
x
=
a
n
{\displaystyle x=a^{n}}
是正數。如果
a
{\displaystyle a}
是負數且
n
{\displaystyle n}
是奇數 ,那麼
x
=
a
n
{\displaystyle x=a^{n}}
是負數。
使用對數和有理數指數都不能將
a
k
{\displaystyle a^{k}}
(其中
a
{\displaystyle a}
是負實數,
k
{\displaystyle k}
實數)定義成實數。在一些特殊情況下,給出一個定義是可行的:負指數的整數指數冪是實數,有理數指數冪對於
a
m
n
{\displaystyle a^{\frac {m}{n}}}
(
n
{\displaystyle n}
是奇數)可以使用
n
{\displaystyle n}
次方根來計算,但是因為沒有實數
x
{\displaystyle x}
使
x
2
=
−
1
{\displaystyle x^{2}=-1}
,對於
a
m
n
{\displaystyle a^{\frac {m}{n}}}
(
n
{\displaystyle n}
是偶數)時必須使用虛數單位
i
{\displaystyle i}
。
使用對數的方法不能定義
a
≤
0
{\displaystyle a\leq 0}
時的
a
k
{\displaystyle a^{k}}
為實數。實際上,
e
x
{\displaystyle e^{x}}
對於任何實數
x
{\displaystyle x}
都是正的,所以
ln
(
a
)
{\displaystyle \ln(a)}
對於負數沒有意義。
使用有理數指數冪來逼近的方法也不能用於負數
a
{\displaystyle a}
因為它依賴於連續性 。函數
f
(
r
)
=
a
r
{\displaystyle f(r)=a^{r}}
對於任何正的有理數
a
{\displaystyle a}
是連續的,但是對於負數
a
{\displaystyle a}
,函數
f
{\displaystyle f}
在有些有理數
r
{\displaystyle r}
上甚至不是連續的。
例如:當
a
=
−
1
{\displaystyle a=-1}
,它的奇數次根等於-1。所以如果
n
{\displaystyle n}
是正奇數整數,
−
1
m
n
=
−
1
{\displaystyle -1^{\frac {m}{n}}=-1}
當
m
{\displaystyle m}
是奇數,
−
1
m
n
=
1
{\displaystyle -1^{\frac {m}{n}}=1}
當
m
{\displaystyle m}
是偶數。雖然有理數
q
{\displaystyle q}
使
−
1
q
=
1
{\displaystyle -1^{q}=1}
的集合 是稠密集 ,但是有理數
q
{\displaystyle q}
使
−
1
q
=
−
1
{\displaystyle -1^{q}=-1}
的集合 也是。所以函數
−
1
q
{\displaystyle -1^{q}}
在有理數體不是連續的。
因此,如果要求負實數的任意實數冪,必須將底數和指數看成複數 ,按複數的正實數冪或複數的複數冪方法計算。
指數函數 e z 可以通過(1 + z /N )N 當N 趨於無窮大時的極限 來定義,那麼e iπ 就是(1 + iπ /N )N 的極限。在這個動畫中n 從1取到100。(1 + iπ /N )N 的值通過N 重複增加在複數平面上展示,最終結果就是(1 + iπ /N )N 的準確值。可以看出,隨着N 的增大,(1 + iπ /N )N 逐漸逼近極限-1。這就是歐拉公式 。
複數 運算的幾何意義和e 的冪 可以幫助我們理解
e
i
x
{\displaystyle e^{ix}}
(
x
{\displaystyle x}
是實數),即純虛數指數函數 。想像一個直角三角形
(
0
,
1
,
1
+
i
x
n
)
{\displaystyle (0,1,1+{\frac {ix}{n}})}
(括號內是複數平面內三角形的三個頂點 ),對於足夠大的
n
{\displaystyle n}
,這個三角形可以看作一個扇形 ,這個扇形的中心角就等於
x
n
{\displaystyle {\frac {x}{n}}}
弧度 。對於所有
k
{\displaystyle k}
,三角形
(
0
,
(
1
+
i
x
n
)
k
,
(
1
+
i
x
n
)
k
+
1
)
{\displaystyle (0,(1+{\frac {ix}{n}})^{k},(1+{\frac {ix}{n}})^{k+1})}
互為相似三角形 。所以當
n
{\displaystyle n}
足夠大時
(
1
+
i
x
n
)
n
{\displaystyle (1+{\frac {ix}{n}})^{n}}
的極限是複數平面上的單位圓 上
x
{\displaystyle x}
弧度的點。這個點的極坐標 是
(
r
,
θ
)
=
(
1
,
x
)
{\displaystyle (r,\theta )=(1,x)}
,直角坐標 是
(
cos
x
,
sin
x
)
{\displaystyle (\cos x,\sin x)}
。所以
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}
,而這個函數可以稱為純虛數指數函數 。這就是歐拉公式 ,它通過複數 的意義將代數學 和三角學 聯繫起來了。
等式
e
z
=
1
{\displaystyle e^{z}=1}
的解是一個整數乘以
2
i
π
{\displaystyle 2i\pi }
[ 6] :
{
z
:
e
z
=
1
}
=
{
2
k
π
i
:
k
∈
Z
}
.
{\displaystyle \{z:e^{z}=1\}=\{2k\pi i:k\in \mathbb {Z} \}.}
更一般地,如果
e
b
=
a
{\displaystyle e^{b}=a}
,那麼
e
z
=
a
{\displaystyle e^{z}=a}
的每一個解都可以通過將
2
i
π
{\displaystyle 2i\pi }
的整數倍加上
b
{\displaystyle b}
得到:
{
z
:
e
z
=
a
}
=
{
b
+
2
k
π
i
:
k
∈
Z
}
.
{\displaystyle \{z:e^{z}=a\}=\{b+2k\pi i:k\in \mathbb {Z} \}.}
這個複指數函數是一個有週期
2
i
π
{\displaystyle 2i\pi }
的週期函數 。
更簡單的:
e
i
π
=
−
1
;
e
x
+
i
y
=
e
x
(
cos
y
+
i
sin
y
)
{\displaystyle e^{i\pi }=-1;\ e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y)}
。
根據歐拉公式 ,三角函數 餘弦和正弦是:
cos
z
=
e
i
⋅
z
+
e
−
i
⋅
z
2
sin
z
=
e
i
⋅
z
−
e
−
i
⋅
z
2
⋅
i
{\displaystyle \cos z={\frac {e^{i\cdot z}+e^{-i\cdot z}}{2}}\qquad \sin z={\frac {e^{i\cdot z}-e^{-i\cdot z}}{2\cdot i}}}
歷史上,在複數發明之前,餘弦和正弦是用幾何的方法定義的。上面的公式將複雜的三角函數的求和公式轉換成了簡單的指數方程
e
i
⋅
(
x
+
y
)
=
e
i
⋅
x
⋅
e
i
⋅
y
.
{\displaystyle e^{i\cdot (x+y)}=e^{i\cdot x}\cdot e^{i\cdot y}.\,}
使用了複數指數冪之後,很多三角學問題都能夠使用代數方法解決。
e
x
+
i
y
{\displaystyle e^{x+iy}}
可以分解成
e
x
⋅
e
i
y
{\displaystyle e^{x}\cdot e^{iy}}
。其中
e
x
{\displaystyle e^{x}}
是
e
x
+
i
y
{\displaystyle e^{x+iy}}
的模 ,
e
i
y
{\displaystyle e^{iy}}
決定了
e
x
+
i
y
{\displaystyle e^{x+iy}}
的方向
如果
a
{\displaystyle a}
是一個正實數,
z
{\displaystyle z}
是任何複數,
a
z
{\displaystyle a^{z}}
定義成
e
z
⋅
ln
(
a
)
{\displaystyle e^{z\cdot \ln(a)}}
,其中
x
=
ln
(
a
)
{\displaystyle x=\ln(a)}
是方程
e
x
=
a
{\displaystyle e^{x}=a}
的唯一解。所以處理實數的方法同樣可以用來處理複數。
例如:
2
i
=
e
i
⋅
ln
(
2
)
=
cos
ln
2
+
i
⋅
sin
ln
2
=
0.7692
+
0.63896
i
{\displaystyle 2^{i}=e^{i\cdot \ln(2)}=\cos {\ln 2}+i\cdot \sin {\ln 2}=0.7692+0.63896i}
e
i
=
0.5403023
+
0.841471
i
{\displaystyle {{e}^{i}}=0.5403023+0.841471i}
10
i
=
−
0.6682015
+
0.7439803
i
{\displaystyle {{10}^{i}}=-0.6682015+0.7439803i}
(
e
2
π
)
i
=
535.49
i
=
1
{\displaystyle (e^{2\pi })^{i}=535.49^{i}=1}
讓我們從一個簡單的例子開始:計算
(
1
+
i
)
i
{\displaystyle \left(1+i\right)^{i}}
。
(
1
+
i
)
i
=
[
2
(
2
2
+
2
2
i
)
]
i
=
(
2
e
π
4
i
)
i
=
e
−
π
4
2
i
=
e
−
π
4
cos
ln
2
2
+
i
e
−
π
4
sin
ln
2
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\left(1+i\right)^{i}&=\left[{\sqrt {2}}\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)\right]^{i}\\&=\left({\sqrt {2}}e^{{\tfrac {\pi }{4}}i}\right)^{i}\\&=e^{-{\tfrac {\pi }{4}}}{\sqrt {2}}^{i}\\&=e^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\cos {\frac {\ln 2}{2}}+ie^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\sin {\frac {\ln 2}{2}}\\\end{aligned}}}
其中
2
i
{\displaystyle {\sqrt {2}}^{i}}
的得法參見上文正實數的複數冪
類似地,在計算複數的複數冪時,我們可以將指數的實部與虛部分開以進行冪計算。例如計算
(
1
+
i
)
2
+
i
{\displaystyle \left(1+i\right)^{2+i}}
:
(
1
+
i
)
2
+
i
=
(
1
+
i
)
2
(
1
+
i
)
i
=
2
i
e
−
π
4
(
cos
ln
2
2
+
i
sin
ln
2
2
)
=
−
2
e
−
π
4
sin
ln
2
2
+
2
i
e
−
π
4
cos
ln
2
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\left(1+i\right)^{2+i}&=\left(1+i\right)^{2}\left(1+i\right)^{i}\\&=2ie^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\left(\cos {\frac {\ln 2}{2}}+i\sin {\frac {\ln 2}{2}}\right)\\&=-2e^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\sin {\frac {\ln 2}{2}}+2ie^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\cos {\frac {\ln 2}{2}}\\\end{aligned}}}
複數的複數冪必須首先化為底數為
e
{\displaystyle e}
的形式:
w
z
=
e
z
ln
w
{\displaystyle w^{z}=e^{z\ln w}}
又,由複數的極坐標表示法:
w
=
r
e
i
θ
{\displaystyle w=re^{i\theta }}
故
w
z
=
e
z
ln
(
w
)
=
e
z
(
ln
(
r
)
+
i
θ
)
{\displaystyle w^{z}=e^{z\ln(w)}=e^{z(\ln(r)+i\theta )}}
。
然後,使用歐拉公式 處理即可。
由於複數的極坐標表示法中,輻角
θ
{\displaystyle \theta }
的取值是具有週期性的,因此複數的複數冪在大多數情況下是多值函數 。不過實際應用中,為了簡便起見,輻角都只取主值,從而使冪值唯一。
當函數名後有上標的數(即函數的指數),一般指要重複它的運算。例如
f
3
(
x
)
{\displaystyle f^{3}(x)}
即
f
(
f
(
f
(
x
)
)
)
{\displaystyle f(f(f(x)))}
。特別地,
f
−
1
(
x
)
{\displaystyle f^{-1}(x)}
指
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
的反函數 。
但三角函數 的情況有所不同,一個正指數應用於函數的名字時,指答案要進行乘方運算,而指數為-1時則表示其反函數。例如:
(
sin
x
)
−
1
{\displaystyle (\sin x)^{-1}}
表示
csc
x
{\displaystyle \csc x}
。因此在三角函數時,使用
sin
−
1
x
{\displaystyle \sin ^{-1}x}
來表示
sin
x
{\displaystyle \sin x}
的反函數
arcsin
x
{\displaystyle \arcsin x}
。
計算自然數(正整數)
n
{\displaystyle n}
的
a
n
{\displaystyle a^{n}}
的算法[ 編輯 ]
最快的方式計算
a
n
{\displaystyle a^{n}}
,當
n
{\displaystyle n}
是正整數的時候。它利用了測試一個數是奇數在計算機上是非常容易的,和通過簡單的移所有位向右來除以2 的事實。
在C /C++語言 中,你可以寫如下算法:
double power ( double a , unsigned int n )
{
double y = 1 ;
double f = a ;
while ( n > 0 ) {
if ( n % 2 == 1 ) y *= f ;
n >>= 1 ;
f *= f ;
}
return y ;
}
此算法的時間複雜度 為
O
(
log
n
)
{\displaystyle \mathrm {O} (\log n)\!}
,比普通算法快(a自乘100次,時間複雜度 為
O
(
n
)
{\displaystyle \mathrm {O} (n)\!}
),在
n
{\displaystyle n}
較大的時候更為顯著。
例如計算
a
100
{\displaystyle a^{100}}
,普通算法需要算100次,上述算法則只需要算7次。若要計算
a
n
(
n
<
0
)
{\displaystyle a^{n}(n<0)}
可先以上述算法計算
a
|
n
|
{\displaystyle a^{|n|}}
,再作倒數。
^ 李迪. 中国数学通史: 宋元卷. 江蘇敎育出版社. 1999: 294. ISBN 9787534336928 . 自乘為冪
^ 存档副本 . [2022-10-21 ] . (原始內容存檔 於2022-10-22).
^ Augustin-Louis Cauchy, Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique (1821). In his Oeuvres Complètes , series 2, volume 3.
^ 康軒國中1上《FUN學練功坊①》P.35:a的0次方=1(a≠0)(註:0的0次方為無意義)
^ Denlinger, Charles G. Elements of Real Analysis . Jones and Bartlett. 2011: 278 –283. ISBN 978-0-7637-7947-4 .
^ This definition of a principal root of unity can be found in: