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多項式矩陣

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多項式矩陣,也稱為λ-矩陣矩陣係數多項式(不是矩陣多項式),是數學矩陣論里的概念,指係數是多項式方塊矩陣。使用「λ-矩陣」的名稱時,說明係數多項式以λ為不定元。

嚴格定義

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給定自然數n和係數,一個n階多項式矩陣A為如下形式[1]:120

其中是每個多項式的次數。如果設其中最大的為

那麼多項式矩陣A也可以表達為[2]:232

其中約定當時,.

由於多項式矩陣也能被表達為以(數值)矩陣為係數的多項式,所以也被稱為矩陣係數多項式。如果最高次係數矩陣行列式不為零,則稱多項式矩陣A為為正則多項式矩陣(regular polynomial matrix[2]:232。所有n階多項式矩陣的集合記為[2]:232前者表示所有以多項式為係數的n階方塊矩陣的集合,後者表示所有n階方塊矩陣為係數的多項式的集合。可以驗證兩者是同構的。

例子

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所有的數值矩陣都是多項式矩陣,因為可以將每個元素看成一個零多項式。設係數環為實數,以下是一個3階多項式矩陣:

特徵矩陣是多項式矩陣的一個例子。設有n階數值矩陣A,則特徵矩陣實際上是一次多項式矩陣:。而特徵矩陣的行列式就是數值矩陣A特徵多項式

性質

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由於多項式代數和矩陣代數的結構特性,環上的所有n階多項式矩陣也構成一個代數。兩個n階多項式矩陣可以互相加減、相乘,並且滿足加法交換律和乘法分配律(不滿足乘法交換律)。用與數值矩陣相同的方式可以定義多項式矩陣的初等變換相似關係等價關係(也稱為相抵)、以及行列式[1]:121

如果係數環是域,那麼可以證明,所有的多項式矩陣都可以對角化。任何一個rn的多項式矩陣,都可以相抵於一個對角多項式矩陣:

其中的每個非零的對角元素都是首一多項式,並且整除下一個對角元素。這種形式稱為多項式矩陣的史密斯標準型(Smith normal form),所有的被稱為原多項式矩陣的不變因子[1]:122

如果將n階多項式矩陣看成以n階方塊矩陣為係數的多項式,可以通過將其中的不定元λ替換為一個n階方塊數值矩陣B,而得到一個n階數值矩陣。這種操作稱為多項式矩陣的矩陣替換。由於矩陣乘法不滿足交換律,所以替換分為左替換和右替換[2]:233

左替換:將 替換為 也記作
右替換:將 替換為 也記作

如果係數環是域,那麼多項式矩陣之間可以做帶餘除法:如果都是多項式矩陣,其中,那麼唯一存在多項式矩陣,滿足

  1. 作為多項式的次數嚴格小於,或者為零。

參見

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參考來源

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  1. ^ 1.0 1.1 1.2 方保鎔, 周繼東, 李醫民. 矩阵论. 北京: 清華大學出版社. 2004. ISBN 9787302092087. 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 K. B. Datta. Matrix and Linear Algebra. PHI Learning Pvt. Ltd. 2004. ISBN 9788120306363 (英語).