多項式矩陣,也稱為λ-矩陣、矩陣係數多項式(不是矩陣多項式),是數學中矩陣論里的概念,指係數是多項式的方塊矩陣。使用「λ-矩陣」的名稱時,說明係數多項式以λ為不定元。
給定自然數n和係數環
,一個n階多項式矩陣A為如下形式[1]:120:
,
其中
是每個多項式
的次數。如果設其中最大的為
:
![{\displaystyle d=\max _{1\leqslant i,j\leqslant n}\{d_{i,j}\}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5db23a1525cb3210e14cb9ea30991691c49b8715)
那麼多項式矩陣A也可以表達為[2]:232:
![{\displaystyle A=\sum _{k=0}^{d}\lambda ^{k}\left[a_{i,j,k}\right]_{1\leqslant i,j\leqslant n}=\sum _{k=0}^{d}A(k)\lambda ^{k}.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4b49b0e1c6bd1f7cd03f2307612e45b9139f402)
其中約定當
時,
.
由於多項式矩陣也能被表達為以(數值)矩陣為係數的多項式,所以也被稱為矩陣係數多項式。如果最高次係數矩陣
的行列式不為零,則稱多項式矩陣A為為正則多項式矩陣(regular polynomial matrix)[2]:232。所有n階多項式矩陣的集合記為
或
。[2]:232前者表示所有以多項式為係數的n階方塊矩陣的集合,後者表示所有n階方塊矩陣為係數的多項式的集合。可以驗證兩者是同構的。
所有的數值矩陣都是多項式矩陣,因為可以將每個元素看成一個零多項式。設係數環為實數域,以下是一個3階多項式矩陣:
![{\displaystyle P={\begin{pmatrix}1&x^{2}&x\\0&2x&2\\3x+2&x^{2}-1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&2\\2&-1&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&2&0\\3&0&0\end{pmatrix}}x+{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}x^{2}.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44c6fb61105c102dd2c7f7aac16cddd2ab7bb8d2)
特徵矩陣是多項式矩陣的一個例子。設有n階數值矩陣A,則特徵矩陣實際上是一次多項式矩陣:
。而特徵矩陣的行列式
就是數值矩陣A的特徵多項式。
由於多項式代數和矩陣代數的結構特性,環
上的所有n階多項式矩陣也構成一個代數。兩個n階多項式矩陣可以互相加減、相乘,並且滿足加法交換律和乘法分配律(不滿足乘法交換律)。用與數值矩陣相同的方式可以定義多項式矩陣的初等變換、相似關係、等價關係(也稱為相抵)、秩以及行列式[1]:121。
如果係數環是域,那麼可以證明,所有的多項式矩陣都可以對角化。任何一個秩為r ≤ n的多項式矩陣,都可以相抵於一個對角多項式矩陣:
![{\displaystyle a\operatorname {diag} (d_{1}(\lambda ),d_{2}(\lambda ),\cdots ,d_{r}(\lambda ),0,\cdots ,0)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aa364b4137001f12c74a93da6b2ff9ddce8c42b)
其中的每個非零的對角元素
都是首一多項式,並且整除下一個對角元素
。這種形式稱為多項式矩陣的史密斯標準型(Smith normal form),所有的
被稱為原多項式矩陣的不變因子[1]:122。
如果將n階多項式矩陣看成以n階方塊矩陣為係數的多項式,可以通過將其中的不定元λ替換為一個n階方塊數值矩陣B,而得到一個n階數值矩陣。這種操作稱為多項式矩陣的矩陣替換。由於矩陣乘法不滿足交換律,所以替換分為左替換和右替換[2]:233:
- 左替換:將
替換為
也記作![{\displaystyle P_{l}^{A}(B),}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8317397e920f88c70a6f787ada0f5f827c614dc6)
- 右替換:將
替換為
也記作![{\displaystyle P_{r}^{A}(B).}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f0bdc746986f61fbfbbb07153195d473bd6f8c6)
如果係數環是域,那麼多項式矩陣之間可以做帶餘除法:如果
和
都是多項式矩陣,其中
,那麼唯一存在多項式矩陣
和
,滿足
![{\displaystyle A(\lambda )=B(\lambda )Q(\lambda )+R(\lambda ),}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed8191dac0248efad41b382cd90327670e623170)
作為多項式的次數嚴格小於
,或者為零。