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冪級數

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無窮級數
無窮級數
藍色曲線是指數函數,紅色曲線是指數函數的麥克勞林展開的前n+1項和的曲線

數學中,冪級數(power series)是一類形式簡單而應用廣泛的函數級數,變量可以是一個或多個(見「多元冪級數」一節)。單變量的冪級數形式為:

其中的c常數稱為冪級數的係數。冪級數中的每一項都是一個冪函數,冪次為非負整數。冪級數的形式很像多項式,在很多方面有類似的性質,可以被看成是「無窮次的多項式」。

如果把看成一項,那麼冪級數可以化簡為的形式。後者被稱為冪級數的標準形式。一個標準形式的冪級數完全由它的係數來決定。

將一個函數寫成冪級數的形式稱為將函數在c處展開成冪級數。不是每個函數都可以展開成冪級數。

冪級數是分析學研究的重點之一,然而在組合數學中,冪級數也佔有一席之地。作為母函數,由冪級數概念發展出來的形式冪級數是許多組合恆等式的來源[1]。在電子工程學中,冪級數則被稱為Z-變換實數的小數記法也可以被看做冪級數的一種,只不過這裏的x被固定為。在p-進數中則可以見到x被固定為的冪級數。

例子

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多項式可以看做係數從某一項開始全是零的冪級數,例如多項式可以寫成標準形式的冪級數:

也可以寫成():

實際上,多項式可以寫成在任意c附近展開的冪級數。就這個意義上說,冪級數是多項式的推廣。

等比級數的公式給出了對,有

,是冪級數中基本而又重要的一類。同樣重要的還有指數的冪級數展開:

以及正弦函數(對所有實數x成立):

這些冪級數都屬於泰勒級數

冪級數里不包括負的冪次。例如就不是冪級數(它是一個洛朗級數)。同樣的,冪次為分數的級數也不是冪級數。係數必須是和x無關,比如就不是一個冪級數。

斂散性

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作為級數的一種,冪級數的斂散性也是研究冪級數的重點之一。對同一個冪級數,當變量x複數中變化時,冪級數可能收斂,也可能發散。作為判斷的依據,有:

阿貝爾引理:給定一個冪級數,如果對實數,數列 有界,那麼對任意複數絕對收斂。
證明

如果,那麼由於數列 有界,存在正實數M使得對任意的n,總有。所以:

正數比值嚴格小於1,因此上面的等比級數收斂,於是絕對收斂。

按照引理,使得冪級數收斂的複數的集合總是某個以原點為中心的(不包括邊界),稱為收斂圓盤,其邊界稱為收斂圓。具體來說,就是:

  1. 要麼對所有的非零複數,都發散;
  2. 要麼存在一個正常數(包括正無窮),使得當時,絕對收斂,當時,發散。

這個可以用來辨別冪級數是否收斂的常數被稱為冪級數的收斂半徑,當屬於第一種情況時,規定收斂半徑為零。

按照定義,對一個冪級數,當(在收斂圓盤內)時(如果有的話),冪級數必然收斂;而當時(如果有的話),冪級數必然發散。但是如果(在收斂圓上)的話,這時冪級數的斂散性是無從判斷的,只能具體分析。

根據達朗貝爾審斂法收斂半徑滿足:如果冪級數滿足,則:

是正實數時,
時,
時,

根據根值審斂法,則有柯西-阿達馬公式

或者

冪級數的運算

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形式上,冪級數的加減法運算是將相應係數進行加減。

兩個冪級數的乘積基於所謂的柯西乘積

各種運算後,得到的冪級數的收斂半徑是兩個冪級數中的較小者。

一致收斂性

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對一個收斂半徑為R的冪級數,可以證明,冪級數在收斂圓盤上一致收斂。這個性質稱為內閉一致收斂。因此,考慮冪級數函數

它在收斂區間(-R,R)上是連續函數。

冪級數函數的求導和積分

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可以證明,冪級數函數f在收斂區間上無窮次可導,並且可積。此外,由於冪級數函數f在收斂圓盤內一致收斂,可以進行逐項求導和積分,而且其導函數和積分函數都是在收斂區間上連續的冪級數函數。它們的收斂半徑等於的收斂半徑R。具體形式為:

函數的冪級數展開

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鑑於冪級數函數的良好分析性質以及對之深入的研究,如能將要研究的函數以冪級數形式來表示,將有助於對其性質的研究。然而,不是所有的函數都能展開為冪級數。一個函數在一點c附近可展(可以展開為冪級數),若且唯若存在正實數R>0,使得在複平面中以c為圓心以R為半徑的圓D(c,R)內(不包括邊界)有:

其中為確定的常數。

如果一個函數在某處可展,那麼它在這點無窮可導),並且在這點附近的展開式是唯一的。

即是在這點的泰勒展開的第n項的值。這時展開得到的冪級數稱為函數fc點的泰勒級數

函數的可展性

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對於一般的無窮可導函數,也可以寫出冪級數,但即使這個冪級數收斂,其值也不一定等於。例如函數

x>0時,
時,

可以證明無窮可導,並且在0處的每階導數都是零,因此相應的冪級數恆等於0,不等於

函數可以展開成冪級數的充要條件是其泰勒展開的餘項趨於零:

一個更常用到的充分條件是: 如果存在正實數r,使得在區間上無窮可導,並且存在正數M使得對任意的n,任意的都有

,那麼可以在c附近展開成冪級數:

常見函數的冪級數展開

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以下是一些常見函數的冪級數展開。運用這些展開可以得到一些重要的恆等式















  1. ,特別地,











  2. ,其中

冪級數與解析函數

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局部上由收斂冪級數給出的函數叫做解析函數。解析函數可分成實解析函數與複解析函數。所有的冪級數函數在其收斂圓盤內都是解析函數,並且在所有點上都可展。根據零點孤立原理,解析函數的零點必然是孤立點。在複分析中,所有的全純函數(即複可微函數)都是無窮可微函數,並是復解析函數,這在實分析中則不然。

形式冪級數

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抽象代數中,冪級數研究的重點是其作為一個半環的代數性質。冪級數的係數域是實數或複數或其它的域不再重要,斂散性也不再討論。這樣抽離出的代數概念被稱為形式冪級數。形式冪級數在組合代數有重要用處,例如作為母函數而運用在許多組合恆等式的推導中。

多元冪級數

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冪級數概念在多元微積分學中的一個推廣是多元冪級數:

其中j = (j1, ..., jn)是一個係數為非負整數的向量。係數a(j1,...,jn)通常是實數或複數。c = (c1, ..., cn)和變量x = (x1, ..., xn)是實數或複數係數的向量。在多重下標的表示法中,則有

參見

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參考來源

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  1. ^ 史濟懷,組合恆等式,中國科學技術大學出版社,2001

參考文獻

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