線性函數(紅色)會作用估算函數
(藍色)。
梯形公式是數學中數值積分的基礎公式之一:
由積分中值定理可得
,
但由於ξ其值一般難於確定,故難以準確算出
的值。
如果用兩端點
與
的算術平均值估算
,有
,
這就是梯形公式。
類似地,如果用區間中點
其高度
取代
,從而有中矩形公式
。
梯形公式的示意圖(長度相同的區間)。
為了計算出更加準確的定積分,可以把積分的區間
分成
份,當中
趨向無限,分割出的每一個區間長度必定要是一樣的,然後就可以應用梯形公式:
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right].}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7b41bcb81b7c32debfceee32576be9b2de8e098)
亦可以寫成:
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{2N}}\left(f(x_{0})+2f(x_{1})+2f(x_{2})+\cdots +2f(x_{N-1})+f(x_{N})\right)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf8c9470069bd9163d532f6ac4a620cfde3604db)
當中
![{\displaystyle x_{k}=a+k{\frac {b-a}{N}},{\text{ for }}k=0,1,\dots ,N}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c80e8183471d695448c5ff7dfe4317e035a167a)
其餘項為
當區間的長度並不相同時,這一條公式便不能使用。
梯形公式的示意圖(長度不相同的區間)
給予
以及
,定積分就可以估算成
,
當中
.
應用梯形公式的誤差值是真值數字與運用梯形公式結果的差異:
![{\displaystyle {\text{error}}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-{\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right]}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac04c64166cbfd24aac10c03c629641a2d7c13d4)
如果
中存在一個實數
,那麼
![{\displaystyle {\text{error}}=-{\frac {(b-a)^{3}}{12N^{2}}}f''(\xi )}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3d9220288a6dfdbf52aed00dd8f081413fd9b09)
對於中矩形公式,其誤差類似的有:
如果被積函數是一個凸函數(亦即有一個正值二階導數),那麼誤差會是一個負數,也代表梯形公式的估算值高估了真實數字。這可以利用一個幾何圖形代去表達:梯形不但覆蓋曲線下的面積更超越其範圍。同樣地,如果被積函數是一個凹函數,梯形公式就會低估其真實數字因為曲線下部份面積沒有被計算在內。如果被積函數中有拐點。它的錯誤是比較難去估計。
一般而言有數種方法可以去分析誤差,例如是:傅利葉級數。
在
的情況下,趨向性的估計誤差是:
![{\displaystyle {\text{error}}=-{\frac {(b-a)^{2}}{12N^{2}}}{\big [}f'(b)-f'(a){\big ]}+O(N^{-3}).}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be8c3e11b2ab8dfeff4a79a5bea6db9f35a8e2a5)
- 《數值分析》,清華大學出版社,李慶揚等編,書號ISBN 978-7-302-18565-9