概率公設(英語:Probability axioms)是概率論的公設,任何事件發生的概率的定義均滿足概率公設。因其提出者為安德烈·科摩哥洛夫,也被稱為科摩哥洛夫公設(Kolmogorov axioms)。
某個事件
的概率
是定義在「全體」(universe)或者所有可能基礎事件的樣本空間
時,概率
必須滿足以下科摩哥洛夫公設。
也可以說,概率可以被解釋為定義在樣本空間的子集的σ代數上的一個測度,那些子集為事件,使得所有集的測度為
。這個性質很重要,因為這裏提出條件概率的自然概念。對於每一個非零概率A都可以在空間上定義另外一個概率:
![{\displaystyle P(B\vert A)={P(B\cap A) \over P(A)}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f73ce50eddc7fc97d92a4853e7d74a6b1d93f67)
通常讀作「給定A時B的概率」。如果給定A時B的條件概率與B的概率相同,
,則稱A與B互相獨立。
當樣本空間是有限或者可數無限時,概率函數也可以以基本事件
定義它的值,這裏
。
假設有一個基礎集
,其子集的集合
為σ代數,和一個給
的元素指定一個實數的函數
。
的元素,稱為「事件」。
- 對於任意一個集合
, 即對於任意的事件
。
即,任一事件的概率都可以用
到
區間上的一個實數來表示。
。
即,整體樣本集合中的某個基本事件發生的概率為1。更加明確地說,在樣本集合之外已經不存在基本事件了。
這在一些錯誤的概率計算中經常被小看;如果你不能準確地定義整個樣本集合,那麼任意子集的概率也不可能被定義。
- 任意兩兩不相交事件
的可數序列滿足
。
即,不相交子集的並的事件集合的概率為那些子集的概率的和。這也被稱為是σ可加性。如果存在子集間的重疊,這一關係不成立。
如想通過代數了解科摩哥洛夫的方法,請參照隨機變量代數。
又發展成Boole不等式,證明時常使用此公式:
。
從科摩哥洛夫公設可以推導出另外一些對計算概率有用的法則。
,
,
- 概率論
- 頻率概率
- 人位概率(personal probability)
- 主觀概率(subjective probability)
- 折衷概率(eclectic probability)
- 統計恆性(statistical regularity)