球面像差(英語:SA/Spherical aberration),是指發生在經過透鏡折射或面鏡反射的光線,接近中心與靠近邊緣的光線不能將影像聚集在一個點上的現象。這在望遠鏡和其他的光學儀器上都是一個缺點。這是因為透鏡和面鏡必須滿足所需的形狀,否則不能聚焦在一個點上造成的。
球面像差與鏡面直徑的四次方成正比,與焦長的三次方成反比,所以他在低焦比的鏡子,也就是所謂的「快鏡」上就比較明顯。
對使用球面鏡的小望遠鏡,當焦比低於f/10時,來自遠處的點光源(例如恆星)就不能聚集在一個點上。特別是來自鏡面邊緣的光線比來自鏡面中心的光線更不易聚焦,這造成影像因為球面像差的存在而不能很清晰的成象。所以焦比低於f/10的望遠鏡通常都使用非球面鏡或加上修正鏡。
在透鏡系統中,可以使用凸透鏡和凹透鏡的組合來減少球面像差,就如同使用非球面透鏡一樣。
- 單球面
一個球面,PA 為由球面頂點到非近軸光線入射點距離,球面左右介質的折射率分別為n,n';非近軸入射角,折射角分別為J,J';非近軸入射線和折射線與光軸的夾角分別為U,U';近軸光線的入射角為i;這個球面對球面像差的貢獻為[1]
球面像差=
在四種情況下,球面像差為零:
- PA=0:物體和像與球面頂點重合;
- I'=I:物體和物象在球面的曲率中心;
- i=0;
- I=U'或I'=U:在這種情形下的球面成為消球差曲面。
- 消球差球面
根據球面折射的基本方程可以導出[2]:
對於消球差曲面,凡是射向同一點B入射光,其折射線與光軸相交於一個共同點B'。
例如,n=1,n'=1.5[3]。
消球差曲面多用於高倍率顯微鏡的物鏡[4][3]。一個消球差薄透鏡由一個消球差球面和一個平面鏡組成,對於平行光。消球差薄透鏡等同一塊平板玻璃,對於聚合光束,消球差薄透鏡增加光束的聚合度,對於發散光束,消球差薄透鏡增加光束的發散度[5]。
- 同軸球面系
對於一個由多個球面組成鏡頭,球面像差由以下公式給出[6]:
LA'=trans+newsp
其中
trans=
newsp=
球面像差可表示為
LA'=
………………[7][8]。其中Y是入射光線的在球面入射點到光軸的距離。
球面像差
紅線代表二次項,藍線代表二次和四次項之和,黑線為二、四、六次項之和
亞歷山大·尤金·康拉迪推導出薄透鏡組的球面像差公式如下[9][10]:
SC=
。
其中「0」代表最後的結果,Σ代表對各鏡片之和
![{\displaystyle c={\frac {1}{f*(n-1)}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e0df6dd6a0bb019c66e55d15c0d752fcdafb7f6)
![{\displaystyle c={\frac {1}{r_{1}}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e6ee14d281a4e702c346f49943ea495da401e81)
![{\displaystyle G_{1}={\frac {n^{2}*(n-1)}{2}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/083731bdb1c197f32c75904f655cffbdddcd407e)
![{\displaystyle G_{2}={\frac {1}{2}}*(2*n+1)(n-1)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e2b8cdd5b71a089111908cca7ef0ea3d321dd68)
![{\displaystyle G_{3}={\frac {1}{2}}*(3n+1)(n-1)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80dde3dcd8f52d466311c5b0469c5d91ac9c2ad7)
![{\displaystyle G_{4}={\frac {1}{2*n}}*(n+2)(n-1)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eb5e15a95ecfeb6cdb05393974dd6e39832bb32)
![{\displaystyle G_{5}{\frac {1}{2*n}}*(n^{2}-1)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/438d33c41d0759ed9d551ceed9dd4ed0dab3f648)
![{\displaystyle G_{6}={\frac {1}{2*n}}*(3*n+2)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ec3fef0ae05f6dc39dd2ebfb6d91917f13f1f51)
對於單薄鏡片,上式可簡化為[11]。
單鏡片的球面像差=LA'=
令上式對c_1的導數為零,可求得單鏡片具有最小球面像差的條件[12]:
=
即
=
.
當物距為無窮遠時,v_1=0;
於是
[13]。
|
n |
r_1/r_2
|
1.5 |
-6
|
1.518 |
-6.7374
|
1.6 |
-14
|
1.7 |
93.5
|
1.8 |
12.1765
|
2 |
5
|
3 |
1.9
|
4 |
1.5
|
- ^ Kingslake p104
- ^ Rudolf Kingslake p104-105
- ^ 3.0 3.1 Rudolf Kingslake p105
- ^ Moritz von Rohr p244
- ^ Rudolf Kingslake p106
- ^ Rudolf Kingslake p104
- ^ A.E.Conrady p101
- ^ Kingslake p114
- ^ Alexander Eugen Conrady, p95
- ^ Kingslake p117
- ^ Kingslake p118
- ^ Kingslake, p118
- ^ Kingslake p119
- von Rohr莫里茲·馮·羅爾, Moritz. Geometrical Investigation of the Formation of Images in Optical Instruments. H.M.STATIONARY, LONDON. 1920.
- Conrady亞歷山大·尤金·康拉迪, Alexander Eugen. applied Optics & Optical design. DOVER PUBLICATION. 1957.