數學上,同調代數領域中的一個鏈複形
是一個交換群或者模的序列A0, A1, A2... 通過一系列同態dn : An→An-1相連,使得每兩個連接的映射的複合為零:dn o dn+1 = 0對於所有n。它們常常寫作如下形式:
![{\displaystyle \ldots \longrightarrow A_{n+1}{\begin{matrix}d_{n+1}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A_{n}{\begin{matrix}d_{n}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A_{n-1}{\begin{matrix}d_{n-1}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A_{n-2}\longrightarrow \ldots \longrightarrow A_{2}{\begin{matrix}d_{2}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A_{1}{\begin{matrix}d_{1}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A_{0}{\begin{matrix}d_{0}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}0.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98dc3e93ede46239112d7e0a24cd0a30eb396ac6)
定義鏈複形的同調群為
。當所有同調群為零時,此鏈複形為正合的。
鏈複形概念的一個變種是上鏈複形。一個上鏈複形
是一個交換群或者模的序列A0, A1, A2...由一系列同態dn : An→An+1相連,使得任何兩個接連的映射的複合為零:dn+1 o dn = 0 對於所有的n:
![{\displaystyle 0\longrightarrow A_{0}{\begin{matrix}d_{0}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A_{1}{\begin{matrix}d_{1}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A_{2}\longrightarrow \ldots \longrightarrow A_{n-1}{\begin{matrix}d_{n-1}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A_{n}{\begin{matrix}d_{n}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A_{n+1}\longrightarrow \ldots .}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f1aa9c401402bfe089e7e48fae3f3cc55d6f9ce)
定義上鏈複形的上同調群為
。當所有上同調群為零時,此上鏈複形正合。想法基本上是一樣的。
鏈複形的應用通常定義並應用它們的同調群(對於上鏈複形是上同調群);在更抽象的範圍里,很多等價關係被應用到複形上(例如從鏈同倫的思想開始,以下將解說)。鏈複形很容易在交換範疇中定義。
一個有界複形是其中,幾乎所有的Ai為零—這樣一個有限的複形,用0來伸展到左邊和右邊。一個例子是定義一個(有限)單純複形的同調理論的複形。
假定我們給定一個拓撲空間X。
定義Cn(X)(對於自然數n)為自由交換群由X中的奇異單純形形式化的生成,並定義邊界映射
![{\displaystyle \partial _{n}:C_{n}(X)\to C_{n-1}(X):\,(\sigma :[v_{0},\ldots ,v_{n}]\to X)\mapsto (\partial _{n}\sigma =\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\sigma |[v_{0},\ldots ,{\hat {v}}_{i},\ldots ,v_{n}]),}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a2c692e4f68cd3a9b95da08eea0a2733ad048be)
其中帽子表示省略一個頂點。也就是說,一個奇異單純形的邊界是限制到其面的交替和。可以證明∂² = 0,所以
是一個鏈複形;奇異同調
是該複形的同調類;也就是說,
.
任何光滑流形上的微分k-形式在加法下組成一個交換群(事實上一個R-向量空間)稱為Ωk(M)。
外導數 d = d k 映射 Ωk(M) → Ωk+1(M),而且d 2 = 0可以直接從二階導數的對稱性導出,所以k-形式的向量空間和外導數一起成為一個上鏈複形:
![{\displaystyle \Omega ^{0}(M)\to \Omega ^{1}(M)\to \Omega ^{2}(M)\to \Omega ^{3}(M)\to \ldots .}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5faeebdb9accf5e0789c9e18650355f78588cf19)
該複形的上同調是德拉姆上同調
.
兩個鏈複形
、
之間的鏈映射是一族同態
,使之滿足:
;全體鏈複形依此構成一範疇。鏈映射誘導出同調群間的映射。
上鏈複形的情形類似:兩個上鏈複形
、
之間的上鏈映射是一族同態
,使之滿足:
。上鏈映射也誘導出上同調群間的映射。
舉例來說,拓撲空間之間的連續映射誘導出奇異上同調的鏈映射;而光滑流形間的光滑映射則誘導出德拉姆上同調的上鏈映射。這是函子性或稱自然性的一個例子:空間與映射的拓撲/幾何性質藉此反映在代數結構上,因而變得容易操作與計算。
兩個鏈映射
稱作是同倫的,若且唯若存在一族同態
使得
。
上鏈映射的同倫定義也類似,惟此時考慮的是一族同態
。以下給出上鏈同倫的圖解:
(上)鏈同倫的鏈映射在(上)同調群上誘導出相同的映射。特別是:同倫於恆等映射 id. 的(上)鏈映射是擬同構。
鏈映射的同倫可理解作單純形同倫的代數翻譯。