五边形数定理是一个由欧拉发现的数学定理,描述欧拉函数
展开式的特性[1]
[2]。欧拉函数的展开式如下:
![{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})=\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}x^{\frac {k(3k-1)}{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}x^{\frac {k(3k\pm 1)}{2}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03f76c1ae4845b108abfe289eafc36377fadf5e9)
亦即
![{\displaystyle (1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})\cdots =1-x-x^{2}+x^{5}+x^{7}-x^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}+\cdots .}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2566a6eda1a2b8698f7170ed118d44b708d29ec)
欧拉函数展开后,有些次方项被消去,只留下次方项为1, 2, 5, 7, 12, ...的项次,留下来的次方恰为广义五边形数。
若将上式视为幂级数,其收敛半径为1,不过若只是当作形式幂级数来考虑,就不会考虑其收敛半径。
欧拉函数的倒数是分割函数的母函数,亦即:
![{\displaystyle {\frac {1}{\phi (x)}}=\sum _{k=0}^{\infty }p(k)x^{k}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe9393a95cc019b70f7cc97370c624e8d6ee6c10)
其中
为k的分割函数。
上式配合五边形数定理,可以得到
![{\displaystyle (1-x-x^{2}+x^{5}+x^{7}-x^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}+\cdots )(1+p(1)x+p(2)x^{2}+p(3)x^{3}+\cdots )=1}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea6f3781291c9c66283859ec1f964f7958c8e9bc)
考虑
项的系数,在 n>0 时,等式右侧的系数均为0,比较等式二侧的系数,可得
![{\displaystyle p(n)-p(n-1)-p(n-2)+p(n-5)+p(n-7)+\cdots =0}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c60de6d90507681eb05953bf37aa211b8951c8e)
因此可得到分割函数p(n)的递归式
![{\displaystyle p(n)=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+\cdots }](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e80163523bf0a70f3c14d65011daba38e975bd9)
以n=10为例
![{\displaystyle p(10)=p(9)+p(8)-p(5)-p(3)=30+22-7-3=42}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ae288108d90854399b582060eb2f20ed2db3aa6)
- ^ 原文为Euler, Leonhard. Evolutio producti infiniti
etc. in seriem simplicem. Acta Academiae Scientarum Imperialis Petropolitinae. 1775, 1780: 47–55.
- ^
英文翻译版为Bell, J在2004-12-4翻译的《The Expansion of the Infinite Product
etc. into a Single Series》,http://www.arxiv.org/abs/math.HO/0411454/.