线性代数
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![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a31efc33ac33577d719a3ccd162a9bf21e4847ea)
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向量 · 向量空间 · 基底 · 行列式 · 矩阵
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向量空间是可以缩放和相加的(叫做向量的)对象的集合
向量空间是一群可缩放和相加的数学实域(如实数甚至是函数)所构成的特殊集合,其特殊之处在于缩放和相加后仍属于这个集合。这些数学实域被称为向量,而向量空间正是线性代数的主要研究对象。
给定域
和某集合
,它们具有了以下两种运算(函数):[1]
- 向量加法
(其中
惯例上简记为
)
- 标量乘法
(其中
惯例上简记为
甚至是
)
且这两种运算满足:(特别注意
和
是域
是本身具有的加法和乘法)
名称
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前提条件 |
内容
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向量加法
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的单位元与逆元素
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存在 的元素 对所有
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有
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且存在 使得
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的结合律
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对所有 ![{\displaystyle u,\,v,\,w\in V}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e686ef9d1df2160cfd77fea859166b1328c6edeb) |
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的交换律
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对所有 ![{\displaystyle u,\,v\in V}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12d201b3240aae1af6213033cdb086ea7ef7b0e9) |
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标量乘法
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的单位元
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对所有
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若 是 的乘法单位元,则
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对向量加法的分配律
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对所有 和所有 ![{\displaystyle a\in K}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f97d838bfcfb39f7a33ffe31cd1c2a989b8ca3f6) |
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对域加法的分配律
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对所有 和所有 ![{\displaystyle a,\,b\in K}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7669e603ea65c3825e95c0d8889f36ab1e088c7f) |
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与域乘法 |
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这样称 “
为定义在域
上的向量空间”,而
里的元素
被称为向量;域
里的元素
被称为标量。这样域
就是囊括所有标量的集合,所以为了解说方便,有时会将
昵称为标量域或是标量母空间。在不跟域的加法混淆的情况下,向量加法
也可以简写成
。
前四个条件规定
是交换群。上述的完整定义也可以抽象地概述成“
是个域,且
是一个
模”。
以下定理都沿用正式定义一节的符号与前提条件。
以上的定理事实上继承自群的单位元唯一性。这样的话,可以仿造群的习惯以记号
代表“向量加法
的唯一单位元”,并称之为
的零向量。
在不跟标量域的加法单位元
混淆的情况下,零向量
也可以简写成
。
定理 (2) — 任意向量的向量加法逆元素是唯一的。
以上的定理事实上继承自群的逆元唯一性,这样的话,可以仿造群的习惯以
代表“向量
在向量加法
下的唯一逆元素”,甚至可以把
简记为
,并昵称为向量减法。在不跟标量的加法混淆的情况下,
也可记为
;
也可记为
。
定理 (3) — 对所有的标量
都有
。(零向量的伸缩还是零向量)
证明
考虑到标量乘法对向量加法的分配律和零向量的性质会有
![{\displaystyle a\cdot 0_{V}=a\cdot (0_{V}+0_{V})=a\cdot 0_{V}+a\cdot 0_{V}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c939e27b70042b7e9b79257ad998adde971a7ec)
那取向量
为
的向量加法逆元素,配上向量加法的结合律和单位元的定义会有
故得证。
研究向量空间很自然涉及一些额外结构。额外结构如下:
对一般域F,V记为F-向量空间。若F是实数域ℝ,则V称为实数向量空间;若F是复数域ℂ,则V称为复数向量空间;若F是有限域,则V称为有限域向量空间。
最简单的F-向量空间是F自身。只要定义向量加法为域中元素的加法,标量乘法为域中元素的乘法就可以了。例如当F是实数域ℝ时,可以验证对任意实数a、b以及任意实数u、v、w,都有:
- u + (v + w) = (u + v) + w,
- v + w = w + v,
- 零元存在:零元0满足:对任何的向量元素v,v + 0 = v,
- 逆元素存在:对任何的向量元素v,它的相反数w = −v就满足v + w = 0。
- 标量乘法对向量加法满足分配律:a(v + w) = a v + a w.
- 向量乘法对标量加法满足分配律:(a + b)v = a v + b v.
- 标量乘法与标量的域乘法相容:a(bv) =(ab)v。
- 标量乘法有单位元:ℝ中的乘法单位元,也就是实数“1”满足:对任意实数v,1v = v。
更为常见的例子是给定了直角坐标系的平面:平面上的每一点
都有一个坐标
,并对应着一个向量
。所有普通意义上的平面向量组成了一个空间,记作ℝ²,因为每个向量都可以表示为两个实数构成的有序数组
。可以验证,对于普通意义上的向量加法和标量乘法,ℝ²满足向量空间的所有公理。实际上,向量空间是ℝ²的推广。
同样地,高维的欧几里得空间ℝn也是向量空间的例子。其中的向量表示为
,其中的
都是实数。定义向量的加法和标量乘法是:
,
可以验证这也是一个向量空间。
再考虑所有系数为实数的多项式的集合
。对于通常意义上的多项式加法和标量乘法,
也构成一个向量空间。更广泛地,所有从实数域射到实数域的连续函数的集合
也是向量空间,因为两个连续函数的和或差以及连续函数的若干倍都还是连续函数。
向量空间的另一种例子是齐次线性方程组(常数项都是0的线性方程组)的解的集合。例如下面的方程组:
![{\displaystyle 3x+2y-z=0}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5214042596514613c3e92d8e61d373be66cd36d8)
![{\displaystyle x+5y+2z=0}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0434dccf5b75006c9156eb28e4a36ba9693eb65)
如果
和
都是解,那么可以验证它们的“和”
也是一组解,因为:
![{\displaystyle 3(x_{1}+x_{2})+2(y_{1}+y_{2})-(z_{1}+z_{2})=(3x_{1}+2y_{1}-z_{1})+(3x_{2}+2y_{2}-z_{2})=0}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2623eb35f6944ddb871a4731995842ae458e847f)
![{\displaystyle (x_{1}+x_{2})+5(y_{1}+y_{2})+2(z_{1}+z_{2})=(x_{1}+5y_{1}+2z_{1})+(x_{2}+5y_{2}+2z_{2})=0}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b83aedd11635201fd676f6729943fad76f7efe18)
同样,将一组解乘以一个常数后,仍然会是一组解。可以验证这样定义的“向量加法”和“标量乘法”满足向量空间的公理,因此这个方程组的所有解组成了一个向量空间。
一般来说,当齐次线性方程组中未知数个数大于方程的个数时,方程组有无限多组解,并且这些解组成一个向量空间。
对于齐次线性微分方程,解的集合也构成向量空间。比如说下面的方程:
![{\displaystyle f''+4xf'+\cos(x)f=0}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c715ec2c51ec46dcf0ade10b9ae6439f1a8233ac)
出于和上面类似的理由,方程的两个解
和
的和函数
也满足方程。可以验证,这个方程的所有解构成一个向量空间。
如果一个向量空间V的一个非空子集合W对于V的加法及标量乘法都封闭(也就是说任意W中的元素相加或者和标量相乘之后仍然在W之中),那么将W称为V的线性子空间(简称子空间)。V的子空间中,最平凡的就是空间V自己,以及只包含0的子空间
。
给出一个向量集合B,那么包含它的最小子空间就称为它的生成子空间,也称线性包络,记作span(B)。
给出一个向量集合B,若它的生成子空间就是向量空间V,则称B为V的一个生成集。如果一个向量空间V拥有一个元素个数有限的生成集,那么就称V是一个有限维空间。
可以生成一个向量空间V的线性无关子集,称为这个空间的基。若V={0},约定唯一的基是空集。对非零向量空间V,基是V“最小”的生成集。向量空间的基是对向量空间的一种刻画。确定了向量空间的一组基B之后,空间内的每个向量都有唯一的方法表达成基中元素的线性组合。如果能够把基中元素按下标排列:
,那么空间中的每一个向量v便可以通过座标系统来呈现:
![{\displaystyle v=\lambda _{1}e_{1}+\lambda _{2}e_{2}+\cdots +\lambda _{n}e_{n}+\cdots }](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/525f89fdee4cb835c8e6aa330a42c83d56ba6579)
这种表示方式必然存在,而且是唯一的。也就是说,向量空间的基提供了一个坐标系。
可以证明,一个向量空间的所有基都拥有相同基数,称为该空间的维度。当V是一个有限维空间时,任何一组基中的元素个数都是定值,等于空间的维度。例如,各种实数向量空间:ℝ⁰, ℝ¹, ℝ², ℝ³,…, ℝ∞,…中, ℝn的维度就是n。在一个有限维的向量空间(维度是n)中,确定一组基
,那么所有的向量都可以用n个标量来表示。比如说,如果某个向量v表示为:
那么v可以用数组
来表示。这种表示方式称为向量的坐标表示。按照这种表示方法,基中元素表示为:
可以证明,存在从任意一个n维的
-向量空间到空间
的双射。这种关系称为同构。
给定两个系数域都是F的向量空间V和W,定义由V到W的线性变换(或称线性映射)为所有从V射到W并且它保持向量加法和标量乘法的运算的函数f:
所有线性变换的集合记为
,这也是一个系数域为F的向量空间。在确定了V和W上各自的一组基之后,
中的线性变换可以通过矩阵来表示。
如果两个向量空间V和W之间的一个线性映射是一一映射,那么这个线性映射称为(线性)同构,表示两个空间构造相同的意思。如果在V和W之间存在同构,那么称这两个空间为同构的。如果向量空间V和W之间存在同构
,那么其逆映射
也存在,并且对所有的
,都有:
- 《中国大百科全书》
- Howard Anton and Chris Rorres. Elementary Linear Algebra, Wiley, 9th edition, ISBN 0-471-66959-8.
- Kenneth Hoffmann and Ray Kunze. Linear Algebra, Prentice Hall, ISBN 0-13-536797-2.
- Seymour Lipschutz and Marc Lipson. Schaum's Outline of Linear Algebra, McGraw-Hill, 3rd edition, ISBN 0-07-136200-2.
- Gregory H. Moore. The axiomatization of linear algebra: 1875-1940, Historia Mathematica 22 (1995), no. 3, 262-303.
- Gilbert Strang. "Introduction to Linear Algebra, Third Edition", Wellesley-Cambridge Press, ISBN 0-9614088-9-8
- ^ Roman 2005, ch. 1, p. 27