有限应变理论(finite strain theory)也称为大应变理论或大形变理论,是连续介质力学中处理有较大应变或转动的形变,已不符合无限小应变理论假设下的理论。此情形下,物体在未形变的组态及已形变的组态有明显的不同。有限应变理论常用于弹性体、塑性变形材料、流体及生物软组织。
连续体的运动
物体的位移可以分为二个分量:刚体位移以及形变。
- 刚体位移包括物体的平移或旋转,物体的形状、大小都维持不变。
- 形变表示物体形状或大小的变化,从未形变的组态
变成形变后的组态
。
连续体组态的变化可以用位移场来描述。位移场是物体中所有点的位移矢量组合成的场,可以找到形变后组态和形变前组态之间的关系。物体中二点之间的距离改变,当且仅当物体出现形变。若物体有位移,但没有形变,即为刚体运动。
连续体的形变
位移梯度张量(deformation gradient tensor)
和形变前的组态以及目前的组态有关,可以从单位矢量
和
中看出,因此其为二点张量。
可以定义二种位移梯度张量。
假设
有连续性,则
存在逆元素
,其中
为空间位移梯度张量(spatial deformation gradient tensor)。 根据隐函数定理[1],其雅可比判别式
是非奇点,也就是
。
物质位移梯度张量(material deformation gradient tensor)
表示映射函数或是泛函关系
梯度的二维张量(
映射函数或是泛函关系
描述连续介质的运动)。材料位移梯度张量可以说明位置矢量为
的物质点的局部形变(也就是相对邻近点的形变),其作法是对一个点的物质线元素进行线性映射,从原始组态映射到形变后的组态,其中也是假设映射函数
的连续性,也就是其为
和时间
的可微函数,也就是其形变不会让crack或是void打开或是关闭。因此可得