由两个元素a, b 生成的自由群的凯莱图
在数学中,一个群
被称作自由群,如果存在
的子集
使得
的任何元素都能唯一地表成由
中元素及其逆元组成之乘积(在此不论平庸的表法,例如
之类);此时也称
为集合
上的自由群,其群结构决定于集合
,记为
,
称作一组基底。按照范畴论的观点,自由群也可以抽象地理解为群范畴中的自由对象。
一个相关但略有不同的概念是自由阿贝尔群。
在1882年,Walther Dyck 在发表于 Mathematische Annalen 的论文 Gruppentheoretische Studien 中研究了自由群的概念,但未加以命名。“自由群”一词由 Jakob Nielsen 于1924年引入。
2个圆环的集束
- 整数的加法群
是自由群;事实上我们可取
。
- 在巴拿赫-塔斯基悖论的论证中用到两个生成元的自由群,以下将予说明。
- 在代数拓扑学中,
个圆环的集束(即:
个只交于一点的圆环,见右图)的基本群是
个生成元的自由群。
今将构造集合
上之自由群
,分解动作如下。
- 对任何
,引入符号
,称作
的逆元。
- 考虑所有由符号
构成的有限字串。
- 如果一个字串能透过将
或
替换为空字串而变为另一个字串,则称这两个字串等价;此关系在所有上述字串构成的集合上生成一等价关系,其商集(等价类构成的集合)记作
。
- 我们可以借着对字串长度作数学归纳法,证明此等价关系相容于字串的接合,即:
。故字串接合在
导出二元运算,并满足交换律。
- 取
及字串接合运算构成一个群,字串
之逆为
。此即所求。
若
为空集,则
为平凡群。
上述构造
带有一个自然的集合映射
。这对资料
满足以下泛性质:
- 若
为群,
为集合间的映射,则存在唯一的群同态
使得
。
事实上我们仅须,也必须设
;前述构造确保此式给出一个明确定义的群同态。
任两个满足上述泛性质的资料
、
至多差一个同构,因而刻划了自由群的群论性质。这种泛性质是泛代数中考虑的自由对象的特例,用范畴论的语言来说,函子
是遗忘函子的左伴随函子。
- 任何群
皆可表为某个自由群的同态像;在上述泛性质中取
为
的一组生成集,ψ 为包含映射即可。此时
的核
称作关系,
称作
的一个展示;若
有限,则称之为有限展示。一个群可以有多种展示,而且不存在判断两个展示给出的群是否同构的算法。
- 如果
有超过一个元素,则
非交换;事实上
的中心只有单位元。
- 任两个自由群
同构的充要条件是
基数相同,此基数称作自由群的阶。
以下是一些相关定理:
- Jakob Nielsen 与 Otto Schreirer 的定理:自由群的子群也是自由群。若
为
阶,
,则
为
阶(在此设
有限)。
- 设
为超过一阶的自由群;则对任意可数基数
,
中都存在
阶的自由子群。
自由群虽然看似是离散的对象,却可藉微分几何或拓扑学工具研究,上述 Nielsen-Schreirer 定理就是一例(可运用同伦上纤维的构造证明);这套技术属于几何群论的一支。
将上述泛性质中的“群”替换成“阿贝尔群”,遂得到自由阿贝尔群的泛性质。集合
上的自由阿贝尔群可视为自由
-模来构造,或取作
的“交换化”:
(换言之,在考虑字串时不计符号顺序)。
塔斯基在1945年左右提出下述问题:
- 两个以上生成元的自由群是否有相同的一阶理论?此理论是否可判定?
目前已有两个团队独立给出肯定的答案,但双方的证明都尚未被认可。请参见网址 [1] 的“O8”。
- Kharlampovich, Olga; Myasnikov, Alexei, Elementary theory of free non-abelian groups, J. Algebra, 2006, 302 (2): 451–552, doi:10.1016/j.jalgebra.2006.03.033, 数学评论2293770
- W. Magnus, A. Karrass and D. Solitar, "Combinatorial Group Theory", Dover (1976).
- Sela, Z., Diophantine geometry over groups. VI. The elementary theory of a free group., Geom. Funct. Anal. 16, 2006, (3): 707–730, 数学评论2238945
- J.-P. Serre, Trees, Springer (2003) (English translation of "arbres, amalgames, SL2", 3rd edition, astérisque 46 (1983))