一般線性模型
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一般線性模型(general linear model, multivariate regression model)是一個統計學上常見的線性模型。這個模型在計量經濟學的應用中十分重要。不要與多元線性迴歸,廣義線性模型或一般線性方法相混淆。
其公式一般寫為:
其中Y是一個包含反應變數的矩陣。X是一個包含獨立自變數的設計矩陣。B是一個包含多個估計參數的矩陣。U 是一個包含誤差和剩餘項的矩陣。通常假設誤差在測量之間是不相關的,並遵循多元常態分布。如果誤差不遵循多元常態分布,則可以使用廣義線性模型來放寬關於Y和U的假設。
一般線性模型包含許多不同的統計模型:ANOVA,ANCOVA,MANOVA,MANCOVA,普通線性迴歸,t檢定和F檢定。一般線性模型是對多於一個應變數的情況的多元線性迴歸的推廣。如果Y,B和U是列向量,則上面的矩陣方程式將表示多元線性迴歸。
使用一般線性模型的假說檢定可以通過兩種方式進行:多變數或多個獨立的單變數檢定。在多變數測試中,Y的列一起測試,而在單變數測試中,Y列獨立地測試,即作為具有相同設計矩陣的多個單變數測試。
多元線性迴歸
[編輯]多元線性迴歸是簡單線性迴歸到多個自變數的概括,以及一般線性模型的特例,僅限於一個應變數。多元線性迴歸的基本模型是
對於每個觀察值,i = 1,...,n。
在上面的公式中,我們考慮 n 個觀察一個應變數和 p 個獨立變數。因此,是應變數的第 i 個觀察值,是對第 j 個自變數的第 i 個觀察值,j = 1,2,...,p。值表示參數進行估計,並且是第 i 個獨立同分布正常的錯誤。
在更一般的多元線性迴歸中,對於 m > 1 個應變數中的每一個,存在上述形式的一個等式,其共享相同的解釋變數集並因此彼此同時估計:
觀察值 i = 1,...,n,應變數 j = 1,..., m。
應用
[編輯]一般線性模型的應用出現在科學實驗的多腦掃描分析中,其中Y包含來自腦掃描儀的數據,X包含實驗設計變數和混淆值。 它通常以單變數方式進行測試(在此設置中通常稱為質量單變數),通常稱為統計參數映射[1]。
註釋
[編輯]- ^ Statistical parametric mapping. Wikipedia. 2018-08-11 (英語).
參考文獻
[編輯]- Christensen, Ronald. Plane Answers to Complex Questions: The Theory of Linear Models Third. New York: Springer. 2002. ISBN 0-387-95361-2.
- Wichura, Michael J. The coordinate-free approach to linear models. Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press. 2006: xiv+199. ISBN 978-0-521-86842-6. MR 2283455.
- Rawlings, John O.; Pantula, Sastry G.; Dickey, David A. (編). Applied Regression Analysis. Springer Texts in Statistics. 1998. ISBN 0-387-98454-2. doi:10.1007/b98890.
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