亞純函數
外觀
在複分析中,一個複平面的開子集D上的亞純函數是一個在D上除一個或若干個孤點集合之外的區域全純的函數,且這些孤立點都是該函數的極點。
每個D上的亞純函數可以表達為兩個全純函數的比(其分母不恆為0):極點也就是分母的零點。
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/44/Gamma_abs.png/220px-Gamma_abs.png)
直觀的講,一個亞純函數是兩個性質很好的(全純)函數的比。這樣的函數本身性質也很「好」,除了分式的分母為零的點,那時函數的值為無窮。
從代數的觀點來看,如果D是一個連通集,則亞純函數的集合是全純函數的整域的分式域。這和有理數和整數的關係類似。
例子
[編輯]- 所有的有理函數如
- 都是在整個複平面上的亞純函數。
- 函數
- 都屬於亞純函數。又因為它們都不是有理函數,所以它們也被稱為超越亞純函數。
- 函數
- 函數
- 函數不是在整個複平面上的亞純函數,因為不能通過從複平面去除可數個點而讓它變成全純的。
性質
[編輯]由於亞純函數的奇點是孤立點,它們至多有可數多個。極點的個數可以有無窮多個,例如函數:
使用解析拓延來消去可去奇點後,亞純函數可以進行加減法和乘法的運算。當在D的連通部分上不恆為零時,還可以定義f/g。因此,當D連通時,所有的亞純函數構成一個域,為複數域的一個域擴張。
黎曼曲面上的亞純函數
[編輯]在一個黎曼曲面上,每個點都擁有一個同構於複平面上的一個開子集的開鄰域。因此,在任意黎曼曲面上都可以定義亞純函數。
當D為整個黎曼球時,亞純函數域就是複平面上的單變量有理函數域,因為可以證明任意黎曼球上的亞純函數都是有理函數(這是所謂的GAGA原理的一個特例)。
參考
[編輯]- Serge Lang, Complex Analysis, Springer, 2003. ISBN 0-387-98592-1.
- Stein. Complex Analysis.
- Ahlfors. Complex Analysis, 1966.
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