光滑函數
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光滑函數(英語:Smooth function)在數學中特指無窮可導的函數,不存在尖點,也就是說所有的有限階導數都存在。例如,指數函數就是光滑的,因為指數函數的導數是指數函數本身。
若一函數是連續的,則稱其為函數;若函數存在導函數,且其導函數連續,則稱為連續可導,記為函數;若一函數階可導,並且其階導函數連續,則為函數()。而光滑函數是對所有都屬於函數,特稱其為函數。
按照要求構造光滑函數
[編輯]構造在給定區間外為零但在區間內非零的光滑函數經常很有用。這是可以達到的;另一方面來講,一個冪級數不可能有這樣的屬性。這表明光滑和解析函數之間存在著巨大的鴻溝;所以泰勒定理一般不可以應用到展開光滑函數。
要給出這樣的函數的顯式構造,我們從構造如下的函數開始
- ,
開始先對定義。我們不但有
- (從上式可以得到)
而且對於所有多項式,有
因為負指數的指數增長起支配作用。這意味著對於設定將給出一個光滑函數。像這樣的組合可以以任何給定區間為支撐構成;在這個特例中,該區間是。這樣的函數從開始有特別慢的『啟動』。
參看非解析無窮可微函數。
和解析函數理論的關係
[編輯]用複分析的術語考慮,如下的函數
對於取任何實數值是光滑的,但在有一個本質奇異點。也就是,在附近的行為不好;但恰巧只看實參數時無法讓我們發現這一點。
光滑單位分解
[編輯]給定閉支撐的光滑函數用於構造光滑單位分解(參看拓撲學術語單位分解條目);這在光滑流形的研究中有基本的作用,例如在證明黎曼度量可以從他們的局部存在性全局的定義時。一個簡單的情形是實直線上的一個突起函數,一個光滑函數在區間外為,並且使得
- for .
給定一些直線上的互相重疊的區間,可以在每個區間上構造突起函數,在半無限區間(和)上也可以,以覆蓋整條直線,使得函數的和總是。
根據前面所說,單位分解不適用於全純函數;它們的對於存在性和解析連續的不同行為是層論的根源之一。作為對比,光滑函數的層趨向於不包含很多拓撲資訊。
流形的光滑映射
[編輯]光滑流形之間的光滑映射可以用坐標圖的方式來定義。因為函數的光滑性的概念和特定的坐標圖的選取無關。這樣的映射有一個一階導數,定義在切向量上;它給出了在切線束的級別上的對應纖維間的線性映射。
高等定義
[編輯]在需要討論所有無窮可微函數的集合時,以及該空間的元素在微分和積分、求和、取極限時的行為時,人們發現所有光滑函數的空間不是一個合適的選擇,因為它在這些操作下不是完備和閉合的。對於這個情況的一個正確處理,我們可以採用索伯列夫空間(Sobolev space)的概念。