內射模(英語:injective module),在模論中,是具有與有理數
(視為
-模)相似性質的模。內射模是投射模的對偶概念,由Reinhold Baer於1940年引進。
一個環
上的左模
若滿足以下等價條件,則稱之為內射模:
- 若
是另一個左
-模
的子模,則存在另一個子模
使得
。
- 若
是左
-模的單射,
為同態,則存在同態
使得
。圖示如下:
![內射模 Q 的交換圖](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/47/Injective_module.png)
- 任何短正合序列
都分裂。
- 函子
為正合函子。
右模的定義類此。抽象地說,內射模乃是模範疇中的內射對象。
- 零模是內射模的平凡例子。
- 設
為域,則任何
-模(即
-向量空間)都是內射模,此點可由基的性質證明。
- 設
為緊群(例如有限群),
為特徵為零的域。根據緊群的表示理論,可知任何表示的子表示都是其直和項;若翻譯為模的語言,即是:群代數
上的所有模都是內射模。
- 設
為域
上含單位元的有限維結合代數。則逆變函子
給出有限生成左
-模與有限生成右
-模的對偶性。因此,有限生成的左
-模在同構的意義下皆可寫作
,其中
是某個有限生成的投射右
-模。
- 在一般的環上也存在充足的(在內射分解的意義下)投射模,以下將述及相關理論。初步的例子包括:
對加法形成內射
-模。群
(
)是內射
-模,而非內射
-模。
- 若一個環作為它自身的左模是內射的,就稱為一個左自內射環(英語:left self-injective ring)。右自內射環可對稱的定義。半單環,整數的剩餘類環是自內射環。一個左自內射環不一定是右自內射的。
內射模的直積(包括無窮直積)仍是內射模,內射模的有限直和仍為內射模。一般而言,內射模的子模、商模或無窮直和並不一定是內射模。
Baer 在其論文中證明了一個有用的結果,通常稱作 Baer 判準:一個左
-模
是內射模若且唯若定義在任一理想
上的態射
都能延拓到整個
上。
利用此判準,可證明主理想域
上的模
是內射模若且唯若
可除,即:對任何
,存在
使得
,由此可證
是內射
-模,向量空間都是內射模。
最重要的內射模當屬
:它是
-模範疇中的內射上生成元,換言之,這是內射模,而且任何
-模皆可嵌入某個
中,其中
是夠大的基數。由此可知任何
-模皆可嵌入某個內射
-模。此性質對任意環
上的左模都成立,要點在於利用
的特性構造左
-模範疇中的內射上生成元。
我們也可以定義模的內射包(基本上是包含一個模的最小內射模)。任意模
都有內射分解,這是形式如下的正合序列:
![{\displaystyle 0\to M\to I^{0}\to I^{1}\to I^{2}\to \cdots I^{n}\to \cdots }](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0881679b00b0ec04cf1b17e3154270d162867752)
其中每個
都是內射的。內射分解可以用以定義模的內射維度(基本上是內射分解的最短長度,可能是無限的)及導函子。
不可分解內射模的自同態環是局部環。
- F.W. Anderson and K.R. Fuller: Rings and Categories of Modules, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 13, 2nd Ed., Springer-Verlag, New York, 1992.