多解析度分析(multiresolution analysis, MRA)或是多尺度近似(multiscale approximation, MSA)是最常用來分析離散小波變換〈DWT〉或是驗證快速小波轉換〈FWT〉理論的方法。本分析方法在1989年[1]及1998年[2]由Stephane Mallat 著作的論文提到。
Lp空間
的多解析度分析由一系列巢狀子空間組成
![{\displaystyle \{0\}\dots \subset V_{1}\subset V_{0}\subset V_{-1}\subset \dots \subset V_{-n}\subset V_{-(n+1)}\subset \dots \subset L^{2}(\mathbb {R} )}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2772c4ce3b03b540cbabf7784c961cefdd59100)
- 取樣定理
- 取樣定理主要是在重建一個時間長度
中被取樣過的訊號:若訊號是有限頻寬,只要奈奎斯特頻率(Nyquist frequency)比
小及可完整重建訊號;否則得到的重建訊號為近似的訊號。因此可以說,愈小的
使得訊號的重建愈容易,
的大小將決定訊號解析度,同時,取樣頻率也受到
的限制。
- 概念
- 倘若一個訊號具有變化速度差異大的區段,像是訊號快速變化的區段穿插著變化平緩的區段,則上述單一解析度將不適用於分析訊號。因此,多重解析度分析的概念因此而生。將訊號在不同解析度上分析。
- 定義
- 令
為在函數空間
裡的子空間的數列,假如
- 分簇性(nested):
![{\displaystyle \dots \subset V_{0}\subset V_{1}\subset \dots \subset V_{n}\subset V_{n+1}\subset \dots \subset L^{2}(\mathbb {R} )}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f76005d6d9acdd9de9f7764dcdc0e1cb43f6398)
- 稠密性(density):
![{\displaystyle \operatorname {Closure} \left(\bigcup _{i=-\infty }^{\infty }V_{i}\right)={\overline {\dots \cup V_{-1}\cup V_{0}\cup V_{1}\cup \dots }}=L^{2}(R)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/165fa7d7191cac4fc62817faa66d33b527044374)
- 分離性(seperation):
![{\displaystyle \bigcap _{i=-\infty }^{\infty }V_{i}=\dots \cap V_{-1}\cap V_{0}\cap V_{1}\cap \dots =\left\{0\right\}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0389904694d189764004830742548ae2e7fc7f11)
- 調節性(scaling):
![{\displaystyle f(2^{-j}x)\in V_{0}\leftrightarrow f(x)\in V_{j}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9d7259013dce0bd993d0114b1c38ba3b75920ea)
- 正規正交基底(orthonormal basis):
且集合
為
的一正規正交基底。
- 則
為帶有調整函數
的多解析度分析。
- 應用
- 在高頻的時候,使用較細緻的時間解析度及較粗糙的頻率解析度。
- 在低頻的時候,使用較細緻的頻率解析度及較粗糙得時間解析度。
- 相當適合使用在長時間都是低頻成份,只有在短時間內會有高頻成份的訊號
- ^ Mallat, S., "A Theory for Multi-resolution Approximation: the Wavelet Approximation," IEEE Trans. PAMI 11 (1989), 674-693.
- ^ Mallat, S., "A Wavelet Tour of Signal Processing," Academic Press, San Diego, 1998.
- Albert Boggess, Francis J. Narcowich, "A First Course in Wavelets with Fourier Analysis"