庫克-李文定理
庫克-李文定理(英語:Cook–Levin theorem)或者庫克定理(英語:Cook's theorem)是有關計算複雜度理論的一個定理。它證明了布爾可滿足性問題(SAT問題)是NP完全問題。即:
這定理一個非常重要的推論為:如果SAT問題可在多項式時間內被一確定型演算法解決,則「所有的」NP問題都存在可在多項式時間內解決之的確定型演算法。因此,有關以上這個演算法存在與否的問題等價於P/NP問題——現代的理論電腦科學中最重要的未解問題之一。
定義
[編輯]對於一個決定性問題,如果我們可以使用非決定型圖靈機在多項式時間之內解決它,我們稱它「在NP內」。
一個「布爾可滿足性問題的成員(instance)」是一個布爾表達式,或者說,一些布爾變數跟布爾邏輯運算符的組合。
對於一個表達式,如果存在某些給予布爾變數真值的方式使得這個表達式的值為真,我們稱它「可滿足的」。
概念
[編輯]給定任何NP的決定性問題,建立一個可以在多項式時間內解決此問題的非決定型圖靈機。然後,對每個輸入,建立一個布爾表示式,告訴我們這個輸入進去「是否會正確運作,停止,並且回傳答案為真」。那麼,這個表示式就是可滿足的,若且唯若這個機器正確的跑完這個輸入,並且會停止,回答這個輸入是正確的。這樣,問題「這個我們建立的表示式是否可滿足」,與問題「這個圖靈機是否會回傳"真"」就會變成等價的問題。
結果
[編輯]這個定理的證明展現了任何NP問題都可以在多項式時間內歸約成(另外事實上,只需要對數空間)轉換成一個布爾可滿足性問題。這代表如果布爾可滿足性問題可以用圖靈機在多項式時間內解決,那麼所有NP內的問題都可以在多項式時間內解決,因此複雜度類NP就會等於複雜度類P。
NP完全的重要性在1972年因為理察·卡普的論文《組合問題之間的可還原性》而清楚的表現出來。裡面列出了二十一個有關組合和圖論的問題(卡普的二十一個NP-完全問題),證明裡面的每個均因為其難以解決而惡名昭彰的問題都是NP完全。[1]
貢獻
[編輯]NP完全的概念是在1960年代晚期和1970年代初期,被北美和蘇聯的研究者於同一時期分別建立起來的。在1971年的美國,史蒂芬·庫克發表了他的論文《定理證明程式的複雜性》[2]於新成立的ACM計算理論研討會內。理察·卡普接續的論文《組合問題之間的可還原性》[1]則藉由提出了二十一個NP-完全問題的列表,讓庫克之前的論文重新受到了注意。庫克和卡普因為這個成就得到了圖靈獎。
西奧多·P·貝克(Theodore P. Baker)、約翰·吉爾(John Gill)和羅伯特·M·索洛維於1975年證明了使用諭示機模型解決NP-問題需要指數時間,因此對於NP-完備性的興趣又再次被提高。[3]
在蘇聯,德赫蒂亞(M. Dekhtiar)於1969年發表了與貝克、吉爾和索洛維等同的研究。[4]過後利奧尼德·李文的論文《通用搜尋型問題》[5]翻譯過後出版於1973年。不過在更早的幾年之前,這論文的內容就有在演講中提到並且付印過。
李文的研究與庫克和卡普些微的不同,在於他考慮的議題專注在搜尋型問題。這類問題不僅僅是找到解答存在與否,還必須要輸出解答。他提出了六個NP-完全的搜尋型問題,並且還附加證明了一個能在最佳時間內解決這問題的演算法。
相關資料
[編輯]- ^ 1.0 1.1 Karp, Richard M. Reducibility Among Combinatorial Problems. Raymond E. Miller and James W. Thatcher (editors) (編). Complexity of Computer Computations (PDF). New York: Plenum. 1972: 85–103 [2011-07-20]. ISBN 0306307073. (原始內容 (PDF)存檔於2011-06-29). 引用錯誤:帶有name屬性「Karp」的
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標籤用不同內容定義了多次 - ^ Cook, Stephen. The complexity of theorem proving procedures. Proceedings of the Third Annual ACM Symposium on Theory of Computing. 1971: 151–158 [2011-07-20]. (原始內容存檔於2020-08-06).
- ^ T. P. Baker; J. Gill, R. Solovay. Relativizations of the P = NP question. SIAM Journal on Computing. 1975, 4 (4): 431–442. doi:10.1137/0204037.
- ^ Dekhtiar, M. On the impossibility of eliminating exhaustive search in computing a function relative to its graph. Proceedings of the USSR Academy of Sciences. 1969, 14: 1146–1148. (俄文)
- ^ Levin, Leonid. Universal search problems (俄語:Универсальные задачи перебора, Universal'nye perebornye zadachi). Problems of Information Transmission (俄語:Проблемы передачи информации, Problemy Peredachi Informatsii). 1973, 9 (3): 265–266. (俄文)由Trakhtenbrot, B. A. A survey of Russian approaches to perebor(brute-force searches)algorithms. Annals of the History of Computing. 1984, 6 (4): 384–400. doi:10.1109/MAHC.1984.10036.