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拉普拉斯算子

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數學以及物理中,拉普拉斯算子或是拉普拉斯算符(英語:Laplace operator, Laplacian)是由歐幾里得空間中的一個函數的梯度散度給出的微分算子,通常寫成

這名字是為了紀念法國數學家皮耶-西蒙·拉普拉斯(1749–1827)而命名的。他在研究天體力學在數學中首次應用算子,當它被施加到一個給定的重力位(Gravitational potential)的時候,其中所述算子給出的質量密度的常數倍。經拉普拉斯算子運算為零 函數稱為調和函數,現在稱為拉普拉斯方程式,和代表了在自由空間中的可能的重力場。

拉普拉斯算子有許多用途,此外也是橢圓算子中的一個重要例子。

拉普拉斯算子出現描述許多物理現象的微分方程式裡。例如,常用於波方程式數學模型熱傳導方程式流體力學以及亥姆霍茲方程式。在靜電學中,拉普拉斯方程式卜瓦松方程式的應用隨處可見。在量子力學中,其代表薛丁格方程式中的動能項。

拉普拉斯算子是最簡單的橢圓算子,並且拉普拉斯算子是霍奇理論的核心,並且是德拉姆上同調的結果。在圖像處理計算機視覺中,拉普拉斯算子已經被用於諸如斑點檢測邊際檢測等的各種任務。

定義

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拉普拉斯算子是 n歐幾里得空間中的一個二階微分算子,其定義為對函數 先作梯度運算()後,再作散度運算()的結果。因此如果 二階可微實函數,則 的拉普拉斯算子定義為:

── (1)

的拉普拉斯算子也是笛卡兒坐標系 中的所有非混合二階偏導數

── (2)

作為一個二階微分算子,對於k ≥ 2,拉普拉斯算子把Ck函數映射到Ck-2函數。表達式((1)或(2))定義了一個算子Δ:Ck(Rn)→ Ck-2(Rn),或更一般地,定義了一個算子Δ:Ck(Ω)→ Ck-2(Ω),對於任何開集Ω。

函數的拉普拉斯算子也是該函數的海森矩陣

坐標表示式

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二維空間

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其中xy代表x-y平面上的笛卡兒坐標
另外極坐標的表示法為:

三維空間

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笛卡兒坐標系下的表示法
圓柱坐標系下的表示法
球坐標系下的表示法

N維空間

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在參數方程式為(其中以及)的維球坐標系中,拉普拉斯算子為:

其中維球面上的拉普拉斯-貝爾特拉米算子。我們也可以把的項寫成

恆等式

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  • 如果fg是兩個函數,則它們的乘積的拉普拉斯算子為:

f是徑向函數g球諧函數,是一個特殊情況。這個情況在許多物理模型中有所出現。的梯度是一個徑向向量,而角函數的梯度與徑向向量相切,因此:

球諧函數還是球坐標系中的拉普拉斯算子的角部分的特徵函數:

因此:

譜理論

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拉普拉斯算子的譜由特徵值和對應的特徵函數組成,滿足:

這就是所謂的亥姆霍茲方程式

如果中有界,拉普拉斯算子的特徵函數時希爾伯特空間下的一組標準正交基。這主要是因為自伴隨算子的譜定理,適用於拉普拉斯的逆算子(根據龐加萊不等式和Rellich-Kondrachov定理,它是緊算子)。這也可以表明特徵函數是無窮階可微的函數。更一般地說,這些結果對任何有界緊黎曼流形上的拉普拉斯-貝特拉米算子都是成立的,或者說對任何有邊界上具有光滑係數的橢圓算子的Dirichlet特徵值問題也成立。當Ω為N維球面時,拉普拉斯的特徵函數是球諧函數

推廣

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複雜空間上的實值函數

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拉普拉斯算子可以用一定的方法推廣到非歐幾里得空間,這時它就有可能是橢圓算子雙曲算子、或超雙曲算子

閔可夫斯基空間中,拉普拉斯算子變為達朗貝爾算子(英語:d'Alembertian):

達朗貝爾算子通常用來表達克萊因-戈爾登方程式以及四維波動方程式。第四個項前面的符號是負號,而在歐幾里德空間中則是正號。因子c是需要的,這是因為時間和空間通常用不同的單位來衡量;如果x方向用寸來衡量,y方向用厘米來衡量,也需要一個類似的因子。

值域爲複雜空間

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向量值函數的拉普拉斯算子

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拉普拉斯算子作用在向量值函數上,其結果被定義爲一個向量,這個向量的各個分量分別爲向量值函數各個分量的拉普拉斯,卽

更一般地,對沒有坐標的向量,我們用下面的方式定義(受向量恆等式的啓發):

,也可用類似於拉普拉斯-德拉姆算子的方式定義,然後證明「旋度的旋度」向量恆等式.

拉普拉斯-貝爾特拉米算子

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拉普拉斯算子也可以推廣為定義在黎曼流形上的橢圓型算子,稱為拉普拉斯-貝爾特拉米算子。達朗貝爾算子則推廣為偽黎曼流形上的雙曲型算子。拉普拉斯–貝爾特拉米算子還可以推廣為運行於張量場上的算子(也稱為拉普拉斯–貝爾特拉米算子)。

另外一種把拉普拉斯算子推廣到偽黎曼流形的方法,是通過拉普拉斯–德拉姆算子,它作用在微分形式上。這便可以通過外森比克恆等式來與拉普拉斯–貝爾特拉米算子聯繫起來。

參見

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參考文獻

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  • Feynman, R, Leighton, R, and Sands, M. Chapter 12: Electrostatic Analogs. The Feynman Lectures on Physics. Volume 2. Addison-Wesley-Longman. 1970. 
  • Gilbarg, D and Trudinger, N. Elliptic partial differential equations of second order. Springer. 2001. ISBN 978-3540411604. 
  • Schey, H. M. Div, grad, curl, and all that. W W Norton & Company. 1996. ISBN 978-0393969979. 

外部連結

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