動差[1](英語:moment)又稱矩[2][3],其概念來自於物理學。在物理學中,矩用來表示物體形狀的物理量,為重要母數指標。在數學中,動差的概念是用來度量一組具有一定形態特點的點陣。舉個常用的例子,一個「二階動差」,我們在一維上可以測量它的「寬度」;而在更高階的維度上,由於其適用於橢球的空間分布,我們還可以對點的雲結構進行測量和描述。其他的動差用來描述諸如與均值的歪斜分布情況(偏態),或峰值的分布情況(峰態)等其他方面的分布特點。
設隨機變數(或統計量,下同)
的機率密度函數為
。
對於離散型隨機變數,在存在的前提下,其相對於值
的
階動差為:
![{\displaystyle \mu _{n}=\sum \limits _{i=1}^{\infty }(x_{i}-c)^{n}P(x_{i})}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00301206b8711e2ef5b499b4fc793c4933b95f3d)
對於連續型隨機變數,在存在的前提下,其相對於值
的
階動差為:
![{\displaystyle \mu _{n}=\int _{-\infty }^{\infty }(x-c)^{n}\,f(x)\,dx}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b3bb3182488a4d5494dba12749dcb7d72a6693f)
特別地,當
時稱之為原動差,當
時稱之為主動差。
隨機變數的期望值値定義為其1階原動差:
![{\displaystyle E(x)=\int _{-\infty }^{\infty }x\,f(x)\,dx}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afd470e4d144292639e6fb5f5e7d805e50b9cc8c)
在變異數等定義中,期望值也稱為隨機變數的「中心」。顯然,任何隨機變數的1階主動差為0。
隨機變數的變異數定義為其2階主動差:
![{\displaystyle \operatorname {Var} (x)=\int _{-\infty }^{\infty }\left[x-E(x)\right]^{2}\,f(x)\,dx}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51d47fb22eae21867f3e0318c4c090dc07103f3e)
隨機變數的偏態定義為其3階主動差:
![{\displaystyle S(x)=\int _{-\infty }^{\infty }[x-E(x)]^{3}\,f(x)\,dx}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35cf608aa14029d806647575453c1897f41db289)
隨機變數的峰態定義為其4階主動差:
![{\displaystyle K(x)=\int _{-\infty }^{\infty }[x-E(x)]^{4}\,f(x)\,dx}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2539a77f3d27838e749c8e3d8c2bf24acdac1b91)
動差常常通過樣本動差
![{\displaystyle \mu '_{n}\approx {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}X_{i}^{n}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/501200afd63934e71fed712205e87cd5e02cffa5)
來估計。此方法不需要先估計其機率分布。
- ^ 龔曙明. 应用统计学. 清華大學出版社有限公司. 2005: 91 [2023-07-26]. ISBN 9787810825863. (原始內容存檔於2023-07-26).
- ^ 國家教育研究院. 數學名詞(第四版). 2014: 元照出版公司. : 259 [2023-07-26]. ISBN 9789860440454. (原始內容存檔於2023-07-26).
- ^ 國家教育研究院. 土木工程名詞 (第三版). 元照出版公司. 2015: 133 [2023-07-26]. ISBN 9789860465402. (原始內容存檔於2023-07-26).