缺失矩陣
在線性代數中,缺失矩陣或稱缺陷矩陣、不完備矩陣是沒有完備的特徵向量基的方陣,因此無法被對角化。特別地,一個n × n矩陣是缺失的,若且唯若此矩陣不具備有n 個線性獨立的特徵向量。 [1]利用廣義特徵向量對特徵向量進行擴充,形成完整的基,這是解決常微分方程組等缺失系統所必需的方式。
一個n × n 的缺失矩陣總有少於n 個不同(相異)的特徵值 (不同的特徵值是有線性獨立的特徵向量)。特別的是,缺失矩陣具有一個或多個特徵值λ ,其代數重數m > 1(即它們是特徵多項式的多重根),但與λ相關的線性獨立特徵向量少於m個。如果λ的代數重數超過其幾何重數(即與λ相關的線性獨立特徵向量的數量),則稱λ為缺失特徵值。 [1]然而,每一個具有代數重數m的特徵值總是具有m個線性獨立的廣義特徵向量。
一個厄米矩陣(或厄米矩陣的特例實對稱矩陣)或酉矩陣永遠不會是缺失的 ;更廣義地說,一個正規矩陣(包括厄米矩陣和酉矩陣作)永遠不會是缺失的。
若爾當塊
[編輯]任何 2× 2 或矩陣維度更大的非平庸若爾當矩陣 (即不完全對角)會是缺失的。 (一個對角矩陣是具有所有平庸 若爾當塊 的若爾當標準型的特例,並且不是缺失的)。 例如,對於一個 n × n 若爾當塊 :
其對角線上都是同一個元素,而對角線上一排都是1,其餘位置上都是0。此 n × n 若爾當塊可以有一個特徵值λ ,而且其代數重數為 n (如果還存有相同特徵值的其他若爾當塊 ,其代數重數更大),但只有一個不同的特徵向量 , 此處的 與此同時,其他正則基向量會形成廣義特徵向量,並使得 , 此處的 。
任何缺失矩陣都有一個非平庸的若爾當標準型,它最接近於這種矩陣的對角化。
缺失矩陣的一個簡單例子是
具有兩個特徵值 為3,但只有一個不同的特徵向量為
(及其常數倍數)。
參見
[編輯]- ^ 1.0 1.1 Golub & Van Loan (1996,第316頁)
參考文獻
[編輯]- Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F., Matrix Computations 3rd, Baltimore: Johns Hopkins University Press, 1996, ISBN 978-0-8018-5414-9
- Strang, Gilbert. Linear Algebra and Its Applications
3rd. San Diego: Harcourt. 1988. ISBN 978-970-686-609-7.