雙曲正弦
外觀
![]() | |
性質 | |
奇偶性 | 奇 |
定義域 | (-∞,∞) |
到達域 | (-∞,∞) |
特定值 | |
當x=0 | 0 |
當x=+∞ | +∞ |
當x=-∞ | -∞ |
最大值 | +∞ |
最小值 | -∞ |
其他性質 | |
漸近線 | N/A |
根 | 0 |
臨界點 | N/A |
拐點 | 0 |
在數學中,雙曲正弦是一種雙曲函數,是雙曲幾何中,與歐幾里得幾何的正弦函數相對應的函數。雙曲正弦可以視為正弦函數的類似物,然而雙曲正弦不具備週期性,且在定義域為實數的情況下,其值域也包括了整個實數域。一般的正弦可以表示為單位圓上特定角構成之弦長的一半,或該角與圓之交點的y座標;而雙曲正弦則代表單位雙曲線上特定雙曲角構成之雙曲弦長的一半,或該雙曲角與單位雙曲線之交點的y座標。雙曲正弦一般以sinh表示[1],在部分較舊的文獻中有時會以表示。[2]
定義
[編輯]雙曲正弦一般計為[3](有時會簡寫為[4]),其在複變分析中定義為:[5]
其中是複變指數函數。
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9a/Complex_Sinh.jpg/220px-Complex_Sinh.jpg)
也就是說,雙曲正弦等同於指數函數與其倒數之差的一半[6]。雙曲正弦也可以視為自然指數函數的奇函數部分[7]
在雙曲幾何中,雙曲正弦函數類似於歐幾里得幾何中的正弦函數。[8]
性質
[編輯]一般性質
[編輯]- 雙曲正弦在實數中是一個連續函數,在複數中是一個全純函數,因此在整個複數域中雙曲正弦處處可微,其導函數為雙曲餘弦函數。[9]
- 雙曲正弦是一個奇函數。[10]
- 在實數域中,雙曲正弦是一個嚴格遞增函數。其中在區間上是凹函數、在區間上是凸函數。[9]
三角學性質
[編輯]其與經典的歐拉公式類似。
特殊值
[編輯]雙曲正弦存在一些特殊值[5]:
其中為黃金比例
參見
[編輯]參考文獻
[編輯]- ^ (1999) Collins Concise Dictionary, 4th edition, HarperCollins, Glasgow, ISBN 0 00 472257 4, p. 1386
- ^ Dr. Franz Brzoska, Walter Bartsch, Mathematische Formelsammlung. 2. verbesserte, Fachbuchverlag Leipzig. 1956 (德文)
- ^ ISO 80000-2:2009. International Organization for Standardization. [1 July 2010]. (原始內容存檔於2014-03-26).
- ^ Gradshteyn, Izrail Solomonovich; Ryzhik, Iosif Moiseevich. Table of Integrals, Series, and Products 6. Academic Press, Inc. 2000. ISBN 978-0-12-294757-5.
- ^ 5.0 5.1 Weisstein, Eric W. (編). Hyperbolic Sine. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英語).
- ^ sinh 双曲正弦. mathworks. [2021-07-11]. (原始內容存檔於2021-07-12).
- ^ Richard Hensh. Even and Odd Parts of an Exponential Function (PDF). math.msu.edu. [2021-07-11]. (原始內容存檔 (PDF)於2021-07-11).
- ^ 8.0 8.1 8.2 8.3 Weisstein, Eric W. (編). Hyperbolic Functions. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2020-08-29] (英語).
- ^ 9.0 9.1 The hyperbolic functions (PDF). mathcentre.ac.uk. [2021-07-11]. (原始內容存檔 (PDF)於2021-01-19).
- ^ Hyperbolic Functions (PDF). teaching.martahidegkuti.com. [2021-09-15]. (原始內容存檔 (PDF)於2020-01-13).
- ^ Hyperbolic Functions. www.mathsisfun.com. [2020-08-29]. (原始內容存檔於2022-03-03).
- ^ Osborn, G. Mnemonic for hyperbolic formulae. The Mathematical Gazette. July 1902, 2 (34): 189 [2021-09-15]. JSTOR 3602492. doi:10.2307/3602492. (原始內容存檔於2021-11-01).
|