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黎曼級數定理

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黎曼級數定理(亦稱黎曼重排定理),是一個有關於無窮級數性質的數學定理,得名於19世紀德國著名數學家波恩哈德·黎曼。黎曼級數定理說明,如果一個實數無窮級數若是條件收斂的,它的項在重新排列後,重新排列後的級數收斂的值可以收斂到任何一個給定的值,甚至發散

許多有限項級數具有的性質,在一般的無窮級數不一定滿足,例如一般的有限項級數可以重新排列各項,其級數和不會改變,但在無窮級數中,只有絕對收斂的無窮級數才可以重新排列各項而不改變收斂值。

相關定義

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給定無窮級數,其部分和為:。如果部分和的數列

收斂於某個數值:,則級數收斂。也就是說,如果對於任何的,總存在一個整數N,使得如果,則

.

那麼級數收斂。如果級數收斂,但級數發散,則稱此級數是條件收斂的。[1]:149

定理的陳述

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假設是一個條件收斂的無窮級數。對任意的一個實數,都存在一種從自然數集合到自然數集合的排列,使得

此外,也存在另一種排列,使得

類似地,也可以有辦法使它的部分和趨於,或沒有任何極限。[2]:192

反之,如果級數是絕對收斂的,那麼無論怎樣重排,它仍然會收斂到同一個值,也就是級數的和。[2]:193

例子

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交錯調和級數是條件收斂級數的一個經典的例子:

收斂,而

調和級數,它是發散的。雖然在標準的表示法中,交錯調和級數收斂於ln(2),我們可以把它的項重新排列,使它收斂於任何一個數,甚至發散。例如,如果排列為以下的形式,

那麼這時的和等於

可以看出,它的和是原來的和的一半。[1]:153-154[3]:108-111

趨近任一個實數

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將交錯調和級數重排趨向1.5的步驟:從1開始,將正項按順序相加,直到超過1.5(紅點處),然後加入負項,直到低於1.5(綠點),再開始累加正項……

用不同的排列方法,可以讓交錯調和級數趨向任意一個給定的實數。事實上,由於調和級數是發散的,它的部分和可以近似估計為:

其中表示一個當N趨於無窮大時的無窮小歐拉常數。如果將調和級數中所有負項(也就是所有偶數項)相加,得到的級數會是:

它的部分和是:

因此所有正項相加的級數的部分和是:

這也是一個發散級數,趨向正無窮。因此,對任意給定的正實數,可以使用以下的算法來構造出趨向的重排級數的每一項:

  1. 從第一項起,將中的正項(奇數項)從前往後放入,一直放到超過為止:必定存在一個自然數,使得(假設)。將第1至第項定義為:
  2. 從第項開始,將中的負項(偶數項)從前往後放入,一直放到小於為止:必定存在一個自然數,使得。將第至第項定義為:

交替重複這兩步來重排級數,可以將重排級數的部分和保持在上下,而因為是重複第k步時首次「跨過」時候的值,因而它與的差距必定不超過「跨越」時的「步長」,也就是。隨著越來越大,的差距也會越來越趨近於0. 因此使用這個算法構造出來的重排級數最終會收斂於[3]:111-113

證明

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對一般的條件收斂級數,也可以用以上的算法來證明黎曼級數定理。上文中有關交錯調和級數的算法之所以成立,原因有二:首先,所有正項構成的級數發散到正無窮大,所有負項構成的級數發散到負無窮大,所以每次超出(低於)目標值以後,只要不停地累加,必然能夠再次低於(超出)目標值;其次,調和級數是由相加而成,而隨著趨向無窮,趨向於0,也就是說「步長」趨向0,所以最終能夠收斂。所以只需要證明,任何條件收斂級數都滿足這兩個性質:

  1. 所有正項構成的級數和所有負項構成的級數都是發散的;
  2. 級數的項隨著項數趨於無窮而趨於0.

就能證明黎曼級數定理成立了。

性質一

設有給定的條件收斂級數,級數和為。為了簡便起見,假設中每一項都不等於0(否則可以隨意將它們重排在任何地方)。中的正項和負項必定都有無窮多個。將中所有大於0的項按照它們原來在中的順序重新標號排列,可以得到由所有正項排列而成的級數。同樣可以建立由所有負項排列而成的級數

是一個正項級數,所以它要麼收斂到某個定值,要麼發散到正無窮大。假設收斂到某個定值,那麼可以證明也是收斂級數,級數和為。因而可以證明,級數也是收斂級數,這與是條件收斂級數的設定矛盾。所以,發散到正無窮大。同理可證,發散到負無窮大。[1]:154-155

性質二

是一個條件收斂的級數,級數和為。這說明,級數的部分和趨向極限。所以對任意,存在自然數使得對任意,都有:

所以對任意

這說明當趨於無窮大時,趨於0.

證明了性質一與性質二後,就可以用上文提到的算法構造趨向任何實數甚至發散的重排方式。對於任意實數,不妨假設. 首先將的項按順序累加,直到部分和超過為止,然後再將的項按順序累加在其後,直到部分和小於為止,接著再將剩餘的項按順序累加在其後,直到部分和超過為止……這個算法可以一直進行下去,因為根據性質一,都是發散的。而在執行算法的過程中,部分和與會越來越接近。因為無論是在部分和低於,逐項增加到超過的過程中,還是在部分和超過了,逐項減少到低於的過程中,部分和與的差距(絕對值)都不超過前一次「跨越」值的那一刻,部分和與的差距。而這個差距又小於等於部分和「跨越」值時的「步長」。假設第次「跨越」的是在累加第項的時候發生的,那麼直到第次「跨越」時,部分和與的差距都小於等於。隨著趨於無窮大,也趨於無窮大,因而根據性質二,趨於0,也就是說部分和與的差距趨於0。這等價於說重排後的級數收斂於

如果,只需要將算法中的正負項顛倒即可。如果將算法中第次累加正項要超越的值從改為,然後累加負項直到低於,再開始第次累加正項直到超越,如此以往,就能得到發散到正無窮大的重排級數。反之也能得到發散到負無窮大的重排級數。而如果將算法中每次累加正項要超過的值設為1,將每次累加負項要低於的值設為0,那麼重排級數的值將在0和1左右上下反覆擺動,從而不收斂於任何定值。這就是黎曼級數定理。[2]:193-197[1]:154-156

推廣

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此定理可推廣至斯坦尼茲定理英語Lévy–Steinitz theorem。給定一個複數收斂級數∑ an,則重排後的級數∑ aσ (n)之和有以下幾種可能:

  • 級數∑ an為絕對收斂,所以任何重排後的級數和都收斂到同一個值。
  • 級數∑ an為條件收斂。令S為所有重排級數之和的集合,則S要不為整個複數平面C,要不為複數平面上C上的一條線L

更一般的說,給定一個有限維度實向量空間E,考慮其向量組成的收斂級數,則重排級數之和的集合為E仿射子空間

參考來源

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  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 J. A. Fridy. Introductory analysis: the theory of calculus. Gulf Professional Publishing. 2000. ISBN 9780122676550. 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 S. Ponnusamy. Foundations of mathematical analysis. Springer. 2012. ISBN 9780817682927. 
  3. ^ 3.0 3.1 D. A. Brannan. A First Course in Mathematical Analysis. Cambridge University Press. 2006. ISBN 9781139458955.