黎曼級數定理(亦稱黎曼重排定理),是一個有關於無窮級數性質的數學定理,得名於19世紀德國著名數學家波恩哈德·黎曼。黎曼級數定理說明,如果一個實數項無窮級數若是條件收斂的,它的項在重新排列後,重新排列後的級數收斂的值可以收斂到任何一個給定的值,甚至發散。
許多有限項級數具有的性質,在一般的無窮級數不一定滿足,例如一般的有限項級數可以重新排列各項,其級數和不會改變,但在無窮級數中,只有絕對收斂的無窮級數才可以重新排列各項而不改變收斂值。
給定無窮級數
,其部分和為:
。如果部分和的數列
![{\displaystyle \left\{S_{1},\ S_{2},\ S_{3},\dots \right\}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89250263c344e97cc83f572e346064e5fbed19f8)
收斂於某個數值:
,則級數收斂。也就是說,如果對於任何的
,總存在一個整數N,使得如果
,則
.
那麼級數
收斂。如果級數
收斂,但級數
發散,則稱此級數是條件收斂的。[1]:149
假設
是一個條件收斂的無窮級數。對任意的一個實數
,都存在一種從自然數集合到自然數集合的排列
,使得
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma (n)}=C.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3843b5ef5d73d7f8efebf7f39b6a77b88d58aae2)
此外,也存在另一種排列
,使得
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma '(n)}=\infty .}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b226528993d44a89b60c9128abb30efcd696141)
類似地,也可以有辦法使它的部分和趨於
,或沒有任何極限。[2]:192
反之,如果級數是絕對收斂的,那麼無論怎樣重排,它仍然會收斂到同一個值,也就是級數的和。[2]:193
交錯調和級數是條件收斂級數的一個經典的例子:
![{\displaystyle A_{h}=\sum _{n}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d51075f6b9ba8fedefdba9d872075500ecaf3d2d)
收斂,而
![{\displaystyle S_{h}=\sum _{n}{\bigg |}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}{\bigg |}=\sum _{n}{\frac {1}{n}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/639b154410ba694cdb0d1afcbf4202fea45191aa)
是調和級數,它是發散的。雖然在標準的表示法中,交錯調和級數收斂於ln(2),我們可以把它的項重新排列,使它收斂於任何一個數,甚至發散。例如,如果排列為以下的形式,
![{\displaystyle \left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots }](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe2c0beaed708980a18d8994a87353c35b0fe3b1)
- 那麼這時的和等於
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2n+1}}-{\frac {1}{4n+2}}-{\frac {1}{4n+4}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{4n+2}}-{\frac {1}{4n+4}}\right)={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0c59e99b1b237ab76824a6fc95e90837c9923ab)
可以看出,它的和是原來的和的一半。[1]:153-154[3]:108-111
將交錯調和級數重排趨向1.5的步驟:從1開始,將正項按順序相加,直到超過1.5(紅點處),然後加入負項,直到低於1.5(綠點),再開始累加正項……
用不同的排列方法,可以讓交錯調和級數趨向任意一個給定的實數。事實上,由於調和級數
是發散的,它的部分和可以近似估計為:
![{\displaystyle S_{N}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots =\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n}}=\gamma +\ln N+o(1),}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb6f3d67164add28b1309188d75ae84b44fe2ece)
其中
表示一個當N趨於無窮大時的無窮小,
指歐拉常數。如果將調和級數
中所有負項(也就是所有偶數項)相加,得到的級數會是:
![{\displaystyle A_{h}^{-}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}\cdots =-{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots \right)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49adb2523f70cded16b9094366856ee5c3f14515)
它的部分和是:
![{\displaystyle A_{N}^{-}=-\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2n}}=-{\frac {1}{2}}\gamma -{\frac {1}{2}}\ln N+o(1),}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc5ffc521c8d0b088716bc1ac1dfef5f1b1d1cab)
因此所有正項相加的級數
的部分和是:
![{\displaystyle A_{N}^{+}=A_{N}-A_{N}^{-}=\ln 2+{\frac {1}{2}}\left(\gamma +\ln N\right)+o(1),}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b4943135ebb71e50acc36c1a9a122fa47a4e72e)
這也是一個發散級數,趨向正無窮。因此,對任意給定的正實數
,可以使用以下的算法來構造出趨向
的重排級數
的每一項:
- 從第一項起,將
中的正項(奇數項)從前往後放入,一直放到超過
為止:必定存在一個自然數
,使得
(假設
)。將第1至第
項定義為:
![{\displaystyle \forall k=1,2,\cdots ,N_{1},\,\,\sigma (k)=2k-1}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/866690b6f68b162d8828799e0915adfde9f4e2c1)
- 從第
項開始,將
中的負項(偶數項)從前往後放入,一直放到小於
為止:必定存在一個自然數
,使得
。將第
至第
項定義為:
![{\displaystyle \forall k=N_{1}+1,N_{1}+2,\cdots ,N_{2},\,\,\sigma (k)=2k-2N_{1}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04d30796019fea71b42455ab04741d38799a18fc)
交替重複這兩步來重排級數,可以將重排級數的部分和
保持在
上下,而因為
是重複第k步時首次「跨過」
時候的值,因而它與
的差距必定不超過「跨越」時的「步長」,也就是
。隨著
越來越大,
與
的差距也會越來越趨近於0. 因此使用這個算法構造出來的重排級數
最終會收斂於
。[3]:111-113
對一般的條件收斂級數,也可以用以上的算法來證明黎曼級數定理。上文中有關交錯調和級數的算法之所以成立,原因有二:首先,所有正項構成的級數發散到正無窮大,所有負項構成的級數發散到負無窮大,所以每次超出(低於)目標值
以後,只要不停地累加,必然能夠再次低於(超出)目標值
;其次,調和級數是由
相加而成,而隨著
趨向無窮,
趨向於0,也就是說「步長」趨向0,所以最終能夠收斂。所以只需要證明,任何條件收斂級數都滿足這兩個性質:
- 所有正項構成的級數和所有負項構成的級數都是發散的;
- 級數的項隨著項數趨於無窮而趨於0.
就能證明黎曼級數定理成立了。
證明了性質一與性質二後,就可以用上文提到的算法構造趨向任何實數甚至發散的重排方式。對於任意實數
,不妨假設
. 首先將
的項按順序累加,直到部分和超過
為止,然後再將
的項按順序累加在其後,直到部分和小於
為止,接著再將
剩餘的項按順序累加在其後,直到部分和超過
為止……這個算法可以一直進行下去,因為根據性質一,
和
都是發散的。而在執行算法的過程中,部分和與
會越來越接近。因為無論是在部分和低於
,逐項增加到超過
的過程中,還是在部分和超過了
,逐項減少到低於
的過程中,部分和與
的差距(絕對值)都不超過前一次「跨越」
值的那一刻,部分和與
的差距。而這個差距又小於等於部分和「跨越」
值時的「步長」。假設第
次「跨越」的是在累加第
項的時候發生的,那麼直到第
次「跨越」時,部分和與
的差距都小於等於
。隨著
趨於無窮大,
也趨於無窮大,因而根據性質二,
趨於0,也就是說部分和與
的差距趨於0。這等價於說重排後的級數
收斂於
。
如果
,只需要將算法中的正負項顛倒即可。如果將算法中第
次累加正項要超越的值從
改為
,然後累加負項直到低於
,再開始第
次累加正項直到超越
,如此以往,就能得到發散到正無窮大的重排級數。反之也能得到發散到負無窮大的重排級數。而如果將算法中每次累加正項要超過的值設為1,將每次累加負項要低於的值設為0,那麼重排級數的值將在0和1左右上下反覆擺動,從而不收斂於任何定值。這就是黎曼級數定理。[2]:193-197[1]:154-156
此定理可推廣至斯坦尼茲定理。給定一個複數收斂級數∑ an,則重排後的級數∑ aσ (n)之和有以下幾種可能:
- 級數∑ an為絕對收斂,所以任何重排後的級數和都收斂到同一個值。
- 級數∑ an為條件收斂。令S為所有重排級數之和的集合,則S要不為整個複數平面C,要不為複數平面上C上的一條線L
![{\displaystyle L=\{a+tb:t\in \mathbf {R} \},\quad a,b\in \mathbf {C} ,\ b\neq 0}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbb3b6592b77bc7ed468a1ad88fa79617b334fe0)
更一般的說,給定一個有限維度實向量空間E,考慮其向量組成的收斂級數,則重排級數之和的集合為E的仿射子空間。