24點
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24點遊戲(在香港也稱「合廿四」)J、Q、和K去除,或當成10;還有一個版本是把J表示11,Q表示12,K代表13。
有些組合有多種算法,例如2,4,6,Q四張牌可用 2 + 4 + 6 + 12 = 24 或 4×6 ÷ 2 + 12 = 24 或 12 ÷ 4×(6 + 2) = 24等來求解。也有些組合算不出24,如1、1、1、1 和 6、7、8、8等組合。
較有難度的24點
[編輯]雖然大多數24點存在很多解法,有相當一部分數字組合只存在單一的解法。這種組合往往較有難度,也較為有趣。這裡總結一些常見的組合。
分數或小數運算
[編輯]雖然給出4個數字都是整數,中間步驟中有時會出現分數或小數。這種4個數字的組合往往較有難度。一個經典的例子是1,5,5,5,其解答為5×(5 − 1 ÷ 5) = 24;另外 一個例子是3,3,8,8,其解答為8 ÷ (3 - 8 ÷ 3) = 24。因為後者用到了兩次除法,其解法比較難以想到。另外一些類似的組合為:
數字組合 | 解法 | 數字組合 | 解法 |
---|---|---|---|
2, 4, 10, 10 | (2 + 4 ÷ 10)×10 | 2, 5, 5, 10 | (5 − 2 ÷ 10)×5 |
2, 7, 7, 10 | (2 + 10 ÷ 7)×7 | 3, 3, 7, 7 | (3 + 3 ÷ 7)×7 |
4, 4, 7, 7 | (4 − 4 ÷ 7)×7 | 2, 2, 11, 11 | (2 + 2 ÷ 11)×11 |
2, 2, 13, 13 | (2 − 2 ÷ 13)×13 | 1, 3, 4, 6 | 6 ÷ (1 − 3 ÷ 4) |
2, 3, 5, 12 | 12 ÷ (3 − 5 ÷ 2) | 1, 8, 12, 12 | 12 ÷ (12 ÷ 8 - 1) |
大數/奇數運算
[編輯]大多數組合中,中間步驟只會涉及到一些較小的數字(≤32)。但是有些組合中會涉及到一些較大數字,這些組合通常較有難度。比如4、4、10、10的解法為(10×10 − 4) ÷ 4 = 24,5、6、6、9的解法為6×9 − 5×6 = 24。此外如果運算涉及到一些奇數的運算也會增加難度,比如6、9、9、10的解法為9×10 ÷ 6 + 9 = 24。一些例子如下:
數字組合 | 解法 | 數字組合 | 解法 |
---|---|---|---|
1, 3, 9, 10 | (1 + 10)×3 − 9 | 7, 8, 8, 10 | 10×8 − 7×8 |
9, 11, 12, 12 | 11×12 − 9×12 | 1, 2, 7, 7 | (7×7 − 1) ÷ 2 |
3, 8, 8, 10 | (8×10 − 8) ÷ 3 | 4, 8, 8, 11 | (8×11 + 8) ÷ 4 |
5, 10, 10, 13 | (10×13 − 10) ÷ 5 | 1, 5, 11, 11 | (11×11 - 1) ÷ 5 |
1, 6, 11, 13 | (11×13 + 1) ÷ 6 | 1, 7, 13, 13 | (13×13 − 1) ÷ 7 |
計算複雜性排行
[編輯]下面 17 組是由計算機根據計算複雜性和結構找到的最難組合,完整的 566 組有解(多組解則取最簡單的情況)情況如附錄。
數字組合 | 解法 | 數字組合 | 解法 | 數字組合 | 解法 |
---|---|---|---|---|---|
1,3,4,6 | (6/(1-(3/4))) | 1,2,7,7 | (((7*7)-1)/2) | 3,3,7,7 | (((3/7)+3)*7) |
1,4,5,6 | (4/(1-(5/6))) | 3,5,10,10 | (3*(10-(10/5))) | 2,7,7,10 | (((10/7)+2)*7) |
3,3,8,8 | (8/(3-(8/3))) | 3,8,8,10 | (((10*8)-8)/3) | 2,2,7,10 | (((10/2)+7)*2) |
1,6,6,8 | (6/(1-(6/8))) | 4,4,10,10 | (((10*10)-4)/4) | 3,3,6,6 | (3*((6/3)+6)) |
1,4,5,6 | (6/((5/4)-1)) | 1,5,5,5 | ((5-(1/5))*5) | 2,4,10,10 | (10*((4/10)+2)) |
2,5,5,10 | ((5-(2/10))*5) | ||||
4,4,7,7 | ((4-(4/7))*7) |
24點的組合數學
[編輯]其實獨立的24點的個數並不多。如果每張牌面的數值被限制在1到K之間,獨立的數字組合數由有重複的組合數給出:
- 。
譬如,如果最大的牌面數值為10,那麼獨立的數字組合為715個,遠比10000要小;如果最大的牌面數值為13,那麼獨立的數字組合為1820個。這是因為其他的組合可以通過簡單的數字交換得到。
可以用枚舉證明,如果最大牌面數值為10,在715個組合中,有149個組合是沒有解的。此外,如果我們隨機的取4個1-10之間的數字,無解的概率為1442/10000大致為1/7。如果最大牌面數值為13,則會有458個組合無解(總數為1820)。
推廣
[編輯]24點遊戲可以被推廣到多張牌(n>4)的情形。通常我們假定這n張牌是從一副牌中選出的,也就是說,每個數字至多出現4次。比如在5張牌、最大數值為10的情況下,有1992種不同的組合方式。其中無解的比例大大降低,一共為如下37種。如果最大數值為13,則無解的總數擴大為80。
1 1 1 1 2 | 1 1 1 1 3 | 1 1 1 1 4 | 1 1 1 1 5 | 1 1 1 2 2 | 1 1 1 2 3 |
1 1 1 9 9 | 1 1 1 9 10 | 1 1 1 10 10 | 1 1 2 2 2 | 1 1 6 7 7 | 1 1 7 7 7 |
1 1 9 9 9 | 1 1 9 9 10 | 1 1 10 10 10 | 1 5 9 9 9 | 1 6 7 7 7 | 1 7 7 7 7 |
1 7 9 9 9 | 1 8 9 9 10 | 1 8 9 10 10 | 1 9 9 9 9 | 1 9 9 9 10 | 1 9 9 10 10 |
1 9 10 10 10 | 1 10 10 10 10 | 2 9 9 9 9 | 3 5 5 5 5 | 4 9 9 9 9 | 6 7 7 7 7 |
6 10 10 10 10 | 8 9 9 9 10 | 8 9 9 10 10 | 9 9 9 9 10 | 9 9 9 10 10 | 9 9 10 10 10 |
9 10 10 10 10 |
注意到,以上羅列的情形中並沒有5個相同數字的組合,比如,5個1,這是因為一副牌最多只有4個相同數字的牌。
在6張牌的情況下,4905種不同的組合方式中僅有3種組合是無解的:1 1 1 1 2 2,9 9 9 10 10 10 和9 9 10 10 10 10。在7張牌的情況下,所有組合方式(10890種)都有解。