在複分析中,留数定理,又叫残数定理(英語:Residue theorem),是用来计算解析函数沿着闭曲线的路径积分的一个有力的工具,也可以用来计算实函数的积分。它是柯西积分定理和柯西积分公式的推论。
假设
是复平面上的一个单连通开子集,
是复平面上有限个点,
是定义在
的全纯函数。如果
是一条把
包围起来的可求长曲线,但不经过任何一个
,并且其起点与终点重合,那么:
![{\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {I} (\gamma ,a_{k})\operatorname {Res} (f,a_{k}).}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6308b3568edef0ca286eea192c8a0c7600db8a4)
如果γ是若尔当曲线,那么I(γ, ak) = 1,因此:
![{\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Res} (f,a_{k}).}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90d8bfc2f78a80584e4ae6e0ef025713acab653d)
在这里,Res(f, ak)表示f在点ak的留数,I(γ, ak)表示γ关于点ak的卷绕数。卷绕数是一个整数,它描述了曲线γ绕过点ak的次数。如果γ依逆时针方向绕着ak移动,卷绕数就是一个正数,如果γ根本不绕过ak,卷绕数就是零。
以下的积分
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{e^{itx} \over x^{2}+1}\,dx}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a14bfc1c60ac02763aaca58fcf2b8df325eb8a3)
积分路径
在计算柯西分布的特征函数时会出现,用初等微积分计算并不容易。我们把这个积分表示成一个路径积分的极限,积分路径为沿着实直线从−a到a,然后再依逆时针方向沿着以0为中心的半圆从a到−a。取a为大于1,使得虚数单位i包围在曲线里面。路径积分为:
![{\displaystyle \int _{C}{f(z)}\,dz=\int _{C}{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48acfdbac9d40e2a794d766b3df70ac08e2ac57e)
由于eitz是一个整函数(没有任何奇点),这个函数仅当分母z2 + 1为零时才具有奇点。由于z2 + 1 = (z + i)(z − i),因此这个函数在z = i或z = −i时具有奇点。这两个点只有一个在路径所包围的区域中。
由于f(z)是
![{\displaystyle {\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,\!}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c4b5557b560ff0aa4ff4acd80d96caeca20477a) |
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f(z)在z = i的留数是:
![{\displaystyle \operatorname {Res} _{z=i}f(z)={e^{-t} \over 2i}.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fdecb422f0625005684394608b86aea4bc42f95)
根据留数定理,我们有:
![{\displaystyle \int _{C}f(z)\,dz=2\pi i\cdot \operatorname {Res} _{z=i}f(z)=2\pi i{e^{-t} \over 2i}=\pi e^{-t}.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc0eeb0d72f63c4f150c536014b8eaaf540a5f33)
路径C可以分为一个“直”的部分和一个曲线弧,使得:
![{\displaystyle \int _{\mbox{straight}}+\int _{\mbox{arc}}=\pi e^{-t}\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62a727950b607d53ce3438cad4555a2cf4900327)
因此
![{\displaystyle \int _{-a}^{a}=\pi e^{-t}-\int _{\mbox{arc}}.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa99aff33d9917b8a38a5963e6945fc96460f1e3)
如果t > 0,那么当半圆的半径趋于无穷大时,沿半圆路径的积分趋于零:
![{\displaystyle \int _{\mbox{arc}}{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz\leq \int _{\mbox{arc}}\left|{e^{itz} \over z^{2}+1}\right|\,|dz|=\int _{\mbox{arc}}{|e^{itz}| \over |z^{2}+1|}\,|dz|=\int _{\mbox{arc}}{1 \over |z^{2}+1|}\,|dz|\leq \int _{\mbox{arc}}{1 \over a^{2}-1}\,|dz|={\frac {\pi a}{a^{2}-1}}\rightarrow 0\ {\mbox{as}}\ a\rightarrow \infty .}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f08587b04233af526f868098577f803ebb4aae1f)
上述结果也可以直接由Jordan引理得到[1],要注意这里的半圆弧上积分随半径增长趋于0必须要
才能成立,所以如果
就必须考虑下半平面上的半圆弧。
因此,如果t > 0,那么:
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{-t}.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7e770ae2bcf79d79b95c3d151507d3df7d28100)
类似地,如果曲线是绕过−i而不是i,那么可以证明如果t < 0,则
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{t},}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd43a2ab16f8896444b1913e1e29e4fb1f28c7ef)
因此我们有:
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{-\left|t\right|}.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3b3523ad94668c221ca84522e8d62f60a22ce00)
(如果t = 0,这个积分就可以很快用初等方法算出来,它的值为π。)
由于
在
为整数时皆为一阶极点,并且留数皆为
,因此可以用来计算如下所示级数:
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ba8c029528552b7192ce4030b3064a3c48ec313)
在此处令
,并且令
为
的正方形正向(逆时针)围道(其中
为整数),于是依留数定理:
![{\displaystyle {\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{\Gamma _{N}}f(z)\pi \cot(\pi z)\mathrm {d} z={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{\Gamma _{N}}{\frac {\pi \cot(\pi z)}{z^{2}}}\mathrm {d} z=\operatorname {Res} _{z=0}+{\underset {n\neq 0}{\sum _{n=-N}^{N}}}{\frac {1}{n^{2}}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43e1f9babfdbb661a27a9ffda7bd9ab2eebbeb8f)
当
时,等式左侧由于
而趋于零;另一方面:
![{\displaystyle {\frac {z}{2}}\cot {\frac {z}{2}}=1-{\frac {B_{2}z^{2}}{2!}}+\cdots =1-{\frac {z^{2}}{12}}+\cdots }](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00029718b836294390b91c4457a473339bce6f54)
其中有伯努利数
。
(实际上有
)因此,
,可以得出:
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26a915462f991c41d6da8e006e857aed0ee427cf)
即为巴塞尔问题的证明之一。
- Ahlfors, Lars, Complex Analysis, McGraw Hill, 1979, ISBN 0-07-085008-9
- Mitronivić, Dragoslav; Kečkić, Jovan, The Cauchy method of residues: Theory and applications, D. Reidel Publishing Company, 1984, ISBN 90-277-1623-4
- Lindelöf, Ernst, Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions, Editions Jacques Gabay, 19051989, ISBN 2-87647-060-8