- 维基百科:知识问答/存档/2016年7月#(a,b,c)是勾股數,c為斜邊,則(a,b)至少一個是3的倍數,且(a,b)至少一個是4的倍數,且(a,b,c)至少一個是5的倍數
![{\displaystyle {\frac {5}{34}}+{\frac {7}{68}}+{\frac {9}{12}}=1}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67f69b96c403f1e00b642efc7df7f1348c5299de)
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}}=1}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b4e298a55564457168cc1484b15dd23c9dc6099)
![{\displaystyle 21978\times 4=87912}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcc21983355d624c8f24b82326403c7863ee3e9d)
的正整數解。k-knews.cc/news/4eypojq.html[1]
- 直線L方程式為
,平面上某點P座標為P(m,n),則P到L的距離![{\displaystyle ={\frac {|am+bn+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fabc645ee825c24b76cd0aa39ae5ce5c38f4922)
- ABC
- DEF
- GHI
- 9個空格分別為A,B,C,D,E,F,G,H,I,將1,2,3,4,5,6,7,8,9填入這9個空格,使得每一行、每一列、每條對角線的和皆相同,證明A,C,G,I皆為偶數。
證明
- 每一行、每一列、每條對角線的和=(1+2+3+4+5+6+7+8+9)/3=15
- 所以只要確定A,C,E的值,其他6格的值也就確定了
- (A+E+I)+(C+E+G)+(B+E+H)+(D+E+F)=15+15+15+15=60=(A+B+C+D+E+F+G+H+I)+3E=45+3E,故E=(60-45)/3=5
- 所以只要再確定A,C的值即可
- 15為奇數,三個整數之和為奇數,則這三個整數須為「偶偶奇」或「奇奇奇」
- 若(A,C)為(偶,奇),則(A,B,C,D,E,F,G,H,I)為(偶,偶,奇,偶,5,偶,奇,偶,偶),共6個偶數,但1,2,3,...,9只有4個偶數,不合,排除之
- 若(A,C)為(奇,偶),則(A,B,C,D,E,F,G,H,I)為(奇,偶,偶,偶,5,偶,偶,偶,奇),也是共6個偶數,同上,排除之
- 若(A,C)為(奇,奇),則(A,B,C,D,E,F,G,H,I)為(奇,奇,奇,奇,5,奇,奇,奇,奇),共9個奇數,同上,排除之
- 所以倘若有解,則(A,C)須為(偶,偶),(A,B,C,D,E,F,G,H,I)為(偶,奇,偶,奇,5,奇,偶,奇,偶),所以A,C,G,I皆為偶數
- 由於可以旋轉與翻轉,且2+5+4不等於15(即2,4不在同一條對角線上),不失一般性,令A=2,C=4,則(A,B,C,D,E,F,G,H,I)為(2,9,4,7,5,3,6,1,8),為8組解的其中一組。
- 若
為非直角三角形的三內角,則![{\displaystyle \tan A\tan B\tan C=\tan A+\tan B+\tan C}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3aa09793f8b29ec0d06a9d7dd82c9a4e9f69e57)
問題
- 把個位數A移到最左邊,結果變成B倍
- 有一個正整數,不知道總共有幾位數,它的個位數是
,若把個位數移到最左邊,成為最高位數,
- 則新數恰好是原數的
倍。其中
,
,且
。
- 考慮以下遞迴算式:
- B×A=k1
- B×(k1的個位數)+(k1的十位數)=k2 (k1若為一位數,則其十位數視為0,下同)
- B×(k2的個位數)+(k2的十位數)=k3
- B×(k3的個位數)+(k3的十位數)=k4
- .......
- B×(kn-1的個位數)+(kn-1的十位數)=kn
- B×(kn的個位數)+(kn的十位數)=A (等號右邊第一次出現A)
- 請問為什麼原數最小為「(kn的個位數) (kn-1的個位數) (kn-2的個位數).......(k1的個位數) (A)」?
- 例如:有一個正整數,它的個位數是8,若把個位數移到最左邊,則新數恰好是原數的7倍。
- 7×8=56
- 7×6+5=47
- 7×7+4=53
- 7×3+5=26
- 7×6+2=44
- 7×4+4=32
- 7×2+3=17
- 7×7+1=50
- 7×0+5=5
- 7×5+0=35
- 7×5+3=38
- 7×8+3=59
- 7×9+5=68
- 7×8+6=62
- 7×2+6=20
- 7×0+2=2
- 7×2+0=14
- 7×4+1=29
- 7×9+2=65
- 7×5+6=41
- 7×1+4=11
- 7×1+1=8
- 所以原數最小是1159420289855072463768。
- 因為運算規則簡單但瑣碎,所以可以讓Excel幫我們算:
- A1儲存格輸入「56」,A2儲存格輸入「=7*MOD(A1,10)+(A1-MOD(A1,10))/10」,
- 然後下拉複製即可。
,其中
是非負整數,則
- 布雷特施奈德公式:任意四邊形的面積公式。婆羅摩笈多公式的推廣。
- 證明
![{\displaystyle ((x+1)^{n})^{\prime }=n\cdot (x+1)^{n-1}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a339a093efe0b706ef701393ad600c23cf56da94)
- 證明
,其中
是非負整數,
是費波那契數列的第
項
- 證明
,其中
為三角形三邊長,
為其面積。
證明
將海倫公式略為變形,知
![{\displaystyle 16\triangle ^{2}=[(a+b)+c][(a+b)-c]\times [c+(a-b)][c-(a-b)]}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2eb115cf39deee654224690754350b924e5875f)
故
![{\displaystyle {\begin{aligned}16\triangle ^{2}&=[(a+b)^{2}-c^{2}]\times [c^{2}-(a-b)^{2}]\\&=[2ab+(a^{2}+b^{2}-c^{2})]\times [2ab-(a^{2}+b^{2}-c^{2})]\\&=(2ab)^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}\\&=4a^{2}b^{2}-(a^{4}+b^{4}+c^{4}+2a^{2}b^{2}-2b^{2}c^{2}-2a^{2}c^{2})\\&=(2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\\&=2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\\\end{aligned}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2073e52f660db138d5bcd9c12e9624f0d8323fd)
等號兩邊開根號,再同除以4,得
![{\displaystyle \triangle ={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba3b7e4a2a2c764ff74ea6d82935ff3bd08af125)
恆為合成數,其中
為非負整數。
說明
78557*2^n+1恆為合成數
質因數 |
指數
|
3 |
2k
|
5 |
4k+1
|
7 |
12k+7
|
13 |
12k+11
|
73 |
36k+3
|
19 |
36k+15
|
37 |
36k+27
|
![{\displaystyle 6!\times 7!=10!}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb72fb767dd157f705b1e041ac5a8b5ba3278caa)
![{\displaystyle a^{4}+b^{4}+(a+b)^{4}=2(a^{2}+b^{2}+ab)^{2}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bf1cf3fb0989a1a4d8c49eb3c0968d86dd12e0d)