數學上,下限拓撲是定義在實數集
上的拓撲。其不同於
上的標準拓撲(由開區間生成),且具有若干有趣的性質。其為全體半開區間 [a,b) 組成的基生成的拓撲,其中 a 和 b 取遍任意實數。
這樣得到的拓撲空間稱為Sorgenfrey直線(得名自 Robert Sorgenfrey)或箭頭,有時記為
. 與康托集和長直線類似,Sorgenfrey 直線也經常作為點集拓撲學中不少似是而非的命題的反例。
與自身的積也是有用的反例,稱為Sorgenfrey平面。
類似地,可以定義
上的上限拓撲,其性質與下限拓撲完全相同。
- 下限拓撲比實數集的標準拓撲更精細(具有更多開集)。原因是每個開區間都可寫成半開區間的可數並,故在下限拓撲中也是開集。
- 對任意實數
和
, 區間
都是
的闭开集(既是开集,也是闭集)。而且,對任意實數
, 集合
和
皆為閉開集。故
為完全不连通空间。
的緊子集只能是可數集(允許是有限集)。要證明此結論,考慮非空緊集
. 取定
, 考慮
的開覆蓋:
![{\displaystyle {\bigl \{}[x,+\infty ){\bigr \}}\cup {\Bigl \{}{\bigl (}-\infty ,x-{\tfrac {1}{n}}{\bigr )}\,{\Big |}\,n\in \mathbb {N} {\Bigr \}}.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7d2b4394ee2b14ffe9ce0818f3b44ccfa373d51)
- 由於
為緊,此開覆蓋具有有限子覆蓋,故存在實數
使得區間
不含
除
以外的點。這對任意
為真。現選取有理數
. 對不同的
, 區間
兩兩不交,故函數
為單射,故
至多可數。
- 「下限拓撲」得名自以下性質:
中的序列(或網)
收斂到
当且仅当其「從右接近
」,即對任意的
,均存在下標
使得
.
因此可用於研究單側極限:對函數
,
於
之右極限(假定陪域具有標準拓撲),等於定義域在下限拓撲下
於
之一般極限。
- 就分离公理而言,
是完美正规豪斯多夫空間(T6 空間)。
- 就可數性公理而言,
是第一可數空間和可分空间,但並非第二可數空間。
- 就緊緻性而言,
是林德勒夫空間和仿紧空间,但並非σ-緊空間,也不是局部紧空間。
不可度量化,因為可分的度量空間必為第二可數。然而,
的拓撲是由一個預度量給出。
是一個贝尔空间 [1]。