在拓撲學和其相關的數學領域裡,拓撲比較是指在同一個給定的集合上的兩個拓撲結構之間的關係。在一給定的集合上的所有拓撲會形成一個偏序集合。此一序關係可以用來做不同拓撲之間的比較。
直觀上,
有更多甚至是「更小」的鄰域去逼近拓撲空間中的一點,所以相較之下,其拓撲結構比較「細緻」。但在
意義下定義的 「極限」要求在更多的鄰域都要能找到逼近點,所以其拓撲結構在收斂的意義下比較「強」。至於嚴格細或粗,就是額外要求
。
二元關係
在
所有的拓撲所組成的集合上定義了一個偏序集合。
的拓扑裡,最粗的是由空集和全集两个元素构成的:
![{\displaystyle {\mathfrak {T}}=\{X,\,\varnothing \}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c92625f5e1dbd64ec455f606fced229366a7ba39)
而最细的拓扑是离散拓扑(discrete topology),也就是
的冪集:
![{\displaystyle {\mathfrak {T}}_{D}={\mathcal {P}}(X)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e07fdeb0c7e1cd6e066c092fa288a0e0255674f5)
證明
根據定理的條件,對所有集合
有:
(a)
以下將逐條檢驗拓扑的定義,來驗證
的確是
的拓扑:
(1)
若
的確是
的拓扑,那由拓扑的定義可以得到
,這樣從式(a)右方就可以得到
。
(2)
則
若
,從式(a)左方有:
![{\displaystyle (\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow (U\in {\mathfrak {T}})\right\}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0332b3f89e42177ec49ebd688af3bcc3f36a2d0)
![{\displaystyle (\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow (V\in {\mathfrak {T}})\right\}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4406c5de32788dd87dbda5a905f97e805e22956)
所以有:
![{\displaystyle (\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow (U,\,V\in {\mathfrak {T}})\right\}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee8cd00f44695c799f1c8790d889af47dd5ce927)
所以根據拓扑的定義有:
![{\displaystyle (\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow (U\cap V\in {\mathfrak {T}})\right\}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/421385c623983eabdd36b4485573dae88052a7ac)
這樣從式(a)右方就可以得到
。
(3)
則
若
,那對任意
,從式(a)左方有:
![{\displaystyle (\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow (g\in {\mathfrak {T}})\right\}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5b3f6ff4d36da9ecb2c5b4b0756102db63d5265)
所以有:
![{\displaystyle (\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow ({\mathcal {G}}\subseteq {\mathfrak {T}})\right\}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ab895a68072edda0284229ff534138a630df25b)
所以根據拓扑的定義有:
![{\displaystyle (\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow (\bigcup {\mathcal {G}}\in {\mathfrak {T}})\right\}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b60aa393023d1ac2aecf8c525a23a65d093a99f)
所以從式(a)右方可以得到
。
綜上所述,來驗證
的確是
的拓扑。
根據以上的定理,可以做以下的定義:
- 初拓撲-可使集合上的一組映射皆為連續的拓撲之中,最粗糙的拓撲。
- 終拓撲-可使集合上的一組映射皆為連續的拓撲之中,最精細的拓撲。